Question

11．在學(xué)校組織的趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某科技小組為大家提供了一個(gè)寓學(xué)于樂的游戲．如圖所示，將一質(zhì)量為0.1kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在O點(diǎn)，用彈簧裝置將其彈出，使其沿著光滑的半圓形軌道OA和AB運(yùn)動(dòng)，BC段為一段長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.0m的粗糖水平面，DEFG為矩形盤子（盒子邊緣的高度忽略不計(jì)）．圓弧OA和AB的半徑分別為r=0.2m，R=0.4m，滑塊與BC段的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.4，C點(diǎn)離盒子的高度為h=0.8m，水平距離為x=0.6m，盒子的長(zhǎng)度EF為1m，求：

（1）要使小滑塊恰好不脫離圓弧軌道，在B位置小滑塊受到半圓軌道的支持力；
（2）在滿足第（1）問的情況下，小滑塊能否落入盒子？若能，則落入盒子時(shí)距左邊緣DE的距離；
（3）為了不讓小滑塊飛出盒子，滑塊被彈射離開彈簧時(shí)的最大初速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，抓住小滑塊恰好不脫離圓弧軌道求出A點(diǎn)的速度，結(jié)合機(jī)械能守恒求出B點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出C點(diǎn)的速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平位移，判斷小滑塊能否落入盒子，若能，結(jié)合水平位移關(guān)系求出落入盒子時(shí)距左邊緣DE的距離．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出C點(diǎn)的最大速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出滑塊被彈射離開彈簧時(shí)的最大初速度．

解答 解：（1）滑塊恰好到達(dá)A點(diǎn)，可知軌道對(duì)滑塊的壓力為零，滑塊僅受重力，對(duì)滑塊有：$mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
A到B的過程機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
對(duì)B點(diǎn)：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
由以上三式代入數(shù)據(jù)可得：F_N=6N．
（2）從B至C由動(dòng)能定理：$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)得v_C=2m/s．
由平拋運(yùn)動(dòng)：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，s=v_Ct，
聯(lián)立以上各式解得：s=0.8m＞0.6m．
所以小滑塊能落入盒子中．
落入的位置距離E點(diǎn)：△x=s-x=0.8-0.6m=0.2m．
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x+x_EF=v_C′t，
代入數(shù)據(jù)解得v_C′=4m/s．
由O至C用動(dòng)能定理：$mgR-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{c}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{0}=2\sqrt{6}$m/s．
答：（1）要使小滑塊恰好不脫離圓弧軌道，在B位置小滑塊受到半圓軌道的支持力為6N；
（2）在滿足第（1）問的情況下，小滑塊能落入盒子中，落入盒子時(shí)距左邊緣DE的距離為0.2m．
（3）為了不讓小滑塊飛出盒子，滑塊被彈射離開彈簧時(shí)的最大初速度為$2\sqrt{6}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．