Question

如圖所示的坐標(biāo)系，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．在x軸上方空間的第一、第二象限內(nèi)，既無(wú)電場(chǎng)也無(wú)磁場(chǎng)；第三象限，存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁和垂直xy平面（紙面）向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在第四象限，存在沿y軸正方向、場(chǎng)強(qiáng)大小E₂的勻強(qiáng)電場(chǎng)（E₂=2E₁但E₁、E₂均未知）．一質(zhì)量為m、電量為q的帶電質(zhì)點(diǎn)，從y軸上處的P點(diǎn)以水平初速度v₀沿x軸負(fù)方向進(jìn)入第二象限．然后經(jīng)過(guò)x軸上的P₁點(diǎn)與x軸成θ=60°（如圖示）進(jìn)入第三象限，在第三象限內(nèi)帶電質(zhì)點(diǎn)恰好能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，之后垂直于y軸，經(jīng)P₂點(diǎn)進(jìn)入第四象限．重力加速度為g，m、v₀、q均為已知量．求：
（1）粒子到達(dá)P₁點(diǎn)時(shí)速度v₁的大小及P₁點(diǎn)到O點(diǎn)的距離x；
（2）第三象限空間中電場(chǎng)強(qiáng)度E₁和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先在第二象限內(nèi)做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，從而求出粒子到達(dá)P₁點(diǎn)時(shí)速度的大小及P₁點(diǎn)到O點(diǎn)的距離x；
（2）當(dāng)帶電粒子進(jìn)入第三象限內(nèi)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)與重力場(chǎng)中時(shí)，重力與電場(chǎng)力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由平衡可得出電場(chǎng)強(qiáng)度大小，再幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�

解答：解：（1）對(duì)粒子，在第二象限內(nèi)作平拋過(guò)程中，依幾何關(guān)系：v₁=

v0

cos60°

=2v₀，
對(duì)粒子，在平拋過(guò)程中，設(shè)水平位移為x，則有：
x=v₀t…①
tan60°=

vy

vx

=

gt

v0

…②
聯(lián)立①②兩式得：x=v₀?

3 v0

g

=

3 v 2 0

g

（2）要想在第三象限內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，必定有：
qE₁=mg，
得：E₁=

mg

q

當(dāng)洛倫茲力充當(dāng)向心力時(shí)：qv₁B=m

v 2 1

r

又幾何關(guān)系可得：r=

x

sin60°

=

2 v 2 0

g

聯(lián)立上述幾式得：B=

mg

qv0

答：（1）粒子到達(dá)P₁點(diǎn)時(shí)速度v₁的大小為2v₀，P₁點(diǎn)到O點(diǎn)的距離x為

3 v 2 0

g

；
（2）第三象限空間中電場(chǎng)強(qiáng)度E₁為

mg

q

，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

mg

qv0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在場(chǎng)中兩種種運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要知道在電磁場(chǎng)中只有重力與電場(chǎng)力平衡時(shí)粒子才能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再畫出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道半徑．