Question

1．一個豎立著的輕彈簧，支撐著倒立的薄壁氣缸（導熱性能良好）的活塞使氣缸靜止，如圖所示，此時環(huán)境溫度為T₀（單位K），封閉氣柱的長度L₁=30cm，氣缸口未著地，當環(huán)境溫度緩慢降為$\frac{5}{6}$T₀時，氣缸正好著地，但與地面之間無壓力，假設活塞與氣缸壁之間無摩擦且不漏氣，已知氣缸質(zhì)量M=10kg，活塞質(zhì)量m=4kg，輕彈簧原長為27cm，活塞的橫截面積S=2×10^-3m²，大氣壓強p₀=1×10⁵Pa，當?shù)刂亓�加速度g=10m/s²，求：
①環(huán)境溫度為T₀時氣缸口離地高度h；
②當環(huán)境溫度緩慢降為$\frac{8}{25}$T₀時，彈簧恰好恢復原長，求彈簧的勁度系數(shù)．

Answer 1

分析 ①氣缸內(nèi)的氣體溫度從${T}_{0}^{\;}$緩慢降為$\frac{5}{6}{T}_{0}^{\;}$，氣體發(fā)生等壓變化，根據(jù)蓋-呂薩克定律求末狀態(tài)封閉氣體的長度，氣缸氣柱的長度的差即為環(huán)境溫度為T₀時氣缸口離地高度h；
②求出氣缸內(nèi)氣體在剛著地時的壓強和最終彈簧恢復原長時的壓強，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程求出彈簧恢復原長時氣柱長度，求出彈簧的形變量，再根據(jù)活塞的受力平衡即可求出求出彈簧的勁度系數(shù)；

解答 解：①氣缸內(nèi)氣體發(fā)生等圧変化，根據(jù)蓋-呂薩克定律有：
$\frac{{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{30S}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{L}_{2}^{\;}S}{\frac{5}{6}{T}_{0}^{\;}}$
解得：${L}_{2}^{\;}=25cm$
氣缸下降的高度為：$△h={L}_{1}^{\;}-{L}_{2}^{\;}=30-25=5cm$
即環(huán)境溫度為${T}_{0}^{\;}$時氣缸口離地高度為5cm
②氣缸剛著地時氣缸內(nèi)氣體的壓強為${p}_{1}^{\;}$，對氣缸：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{Mg}{S}$=$1×1{0}_{\;}^{5}+\frac{10×10}{2×1{0}_{\;}^{-3}}$=1.5×$1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
彈簧恰好恢復原長時，以活塞為研究對象有：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}=1.0×1{0}_{\;}^{5}$${p}_{a}^{\;}$
根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，有：
$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{P}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1.5×1{0}_{\;}^{5}×25S}{\frac{5}{6}{T}_{0}^{\;}}$=$\frac{1.0×1{0}_{\;}^{5}×{L}_{3}^{\;}S}{\frac{8}{25}{T}_{0}^{\;}}$
解得：${L}_{3}^{\;}$=14.4cm
彈簧的形變量為：$x={L}_{2}^{\;}-{L}_{3}^{\;}=25-14.4$=10.6cm
活塞剛著地時，對活塞有：${p}_{1}^{\;}S+mg={p}_{0}^{\;}S+kx$
代入數(shù)據(jù)：$1.5×1{0}_{\;}^{5}×2×1{0}_{\;}^{-3}+40$=$1×1{0}_{\;}^{5}×2×1{0}_{\;}^{-3}$+k$•10.6×1{0}_{\;}^{-2}$
解得：k=1320N/m
答：①環(huán)境溫度為T₀時氣缸口離地高度h為5cm；
②當環(huán)境溫度緩慢降為$\frac{8}{25}$T₀時，彈簧恰好恢復原長，彈簧的勁度系數(shù)為1320N/m

點評 解決本題關鍵是分析清楚氣體狀態(tài)變化過程、知道氣體發(fā)生什么變化是解題的前提與關鍵，求出氣體狀態(tài)參量，難點是選擇恰當?shù)难芯繉ο筮M行受力分析求氣體壓強．