Question

1．一個(gè)豎立著的輕彈簧，支撐著倒立的薄壁氣缸（導(dǎo)熱性能良好）的活塞使氣缸靜止，如圖所示，此時(shí)環(huán)境溫度為T(mén)₀（單位K），封閉氣柱的長(zhǎng)度L₁=30cm，氣缸口未著地，當(dāng)環(huán)境溫度緩慢降為$\frac{5}{6}$T₀時(shí)，氣缸正好著地，但與地面之間無(wú)壓力，假設(shè)活塞與氣缸壁之間無(wú)摩擦且不漏氣，已知?dú)飧踪|(zhì)量M=10kg，活塞質(zhì)量m=4kg，輕彈簧原長(zhǎng)為27cm，活塞的橫截面積S=2×10^-3m²，大氣壓強(qiáng)p₀=1×10⁵Pa，當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭=10m/s²，求：
①環(huán)境溫度為T(mén)₀時(shí)氣缸口離地高度h；
②當(dāng)環(huán)境溫度緩慢降為$\frac{8}{25}$T₀時(shí)，彈簧恰好恢復(fù)原長(zhǎng)，求彈簧的勁度系數(shù)．

Answer 1

分析 ①氣缸內(nèi)的氣體溫度從${T}_{0}^{\;}$緩慢降為$\frac{5}{6}{T}_{0}^{\;}$，氣體發(fā)生等壓變化，根據(jù)蓋-呂薩克定律求末狀態(tài)封閉氣體的長(zhǎng)度，氣缸氣柱的長(zhǎng)度的差即為環(huán)境溫度為T(mén)₀時(shí)氣缸口離地高度h；
②求出氣缸內(nèi)氣體在剛著地時(shí)的壓強(qiáng)和最終彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)的壓強(qiáng)，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程求出彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)氣柱長(zhǎng)度，求出彈簧的形變量，再根據(jù)活塞的受力平衡即可求出求出彈簧的勁度系數(shù)；

解答 解：①氣缸內(nèi)氣體發(fā)生等圧変化，根據(jù)蓋-呂薩克定律有：
$\frac{{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{30S}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{L}_{2}^{\;}S}{\frac{5}{6}{T}_{0}^{\;}}$
解得：${L}_{2}^{\;}=25cm$
氣缸下降的高度為：$△h={L}_{1}^{\;}-{L}_{2}^{\;}=30-25=5cm$
即環(huán)境溫度為${T}_{0}^{\;}$時(shí)氣缸口離地高度為5cm
②氣缸剛著地時(shí)氣缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為${p}_{1}^{\;}$，對(duì)氣缸：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{Mg}{S}$=$1×1{0}_{\;}^{5}+\frac{10×10}{2×1{0}_{\;}^{-3}}$=1.5×$1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
彈簧恰好恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，以活塞為研究對(duì)象有：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}=1.0×1{0}_{\;}^{5}$${p}_{a}^{\;}$
根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，有：
$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{P}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1.5×1{0}_{\;}^{5}×25S}{\frac{5}{6}{T}_{0}^{\;}}$=$\frac{1.0×1{0}_{\;}^{5}×{L}_{3}^{\;}S}{\frac{8}{25}{T}_{0}^{\;}}$
解得：${L}_{3}^{\;}$=14.4cm
彈簧的形變量為：$x={L}_{2}^{\;}-{L}_{3}^{\;}=25-14.4$=10.6cm
活塞剛著地時(shí)，對(duì)活塞有：${p}_{1}^{\;}S+mg={p}_{0}^{\;}S+kx$
代入數(shù)據(jù)：$1.5×1{0}_{\;}^{5}×2×1{0}_{\;}^{-3}+40$=$1×1{0}_{\;}^{5}×2×1{0}_{\;}^{-3}$+k$•10.6×1{0}_{\;}^{-2}$
解得：k=1320N/m
答：①環(huán)境溫度為T(mén)₀時(shí)氣缸口離地高度h為5cm；
②當(dāng)環(huán)境溫度緩慢降為$\frac{8}{25}$T₀時(shí)，彈簧恰好恢復(fù)原長(zhǎng)，彈簧的勁度系數(shù)為1320N/m

點(diǎn)評(píng) 解決本題關(guān)鍵是分析清楚氣體狀態(tài)變化過(guò)程、知道氣體發(fā)生什么變化是解題的前提與關(guān)鍵，求出氣體狀態(tài)參量，難點(diǎn)是選擇恰當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象進(jìn)行受力分析求氣體壓強(qiáng)．