Question

【題目】如圖所示，空間區(qū)域I、II有勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN、PQ為理想邊界，I區(qū)域高度為d，II區(qū)域的高度足夠大，勻強(qiáng)電場(chǎng)方向豎直向上；I、II區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向分別垂直紙面向里和向外。一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球從磁場(chǎng)上方的O點(diǎn)由靜止開始下落，進(jìn)入場(chǎng)區(qū)后，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度為g。

(1)試判斷小球的電性并求出電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；

(2)若帶電小球運(yùn)動(dòng)一定時(shí)間后恰能回到O點(diǎn)，求它釋放時(shí)距MN的高度h；

(3)試討論在h取不同值時(shí)，帶電小球第一次穿出I區(qū)域的過程中，電場(chǎng)力所做的功。

Answer 1

【答案】(1) 正電； (2) (3)0或者－mgd

【解析】

試題(1)帶電小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力為洛倫茲力，重力與電場(chǎng)力平衡，重力豎直向下，電場(chǎng)力豎直向上，即小球帶正電

由qE=mg

解得

(2)帶電小球在進(jìn)入磁場(chǎng)前做自由落體運(yùn)動(dòng)，據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgh=mv2

帶電小球在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，據(jù)牛頓第二定律得qvB=m

由于帶電小球在Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)過程中q、v、B、m的大小不變，故三段圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，三個(gè)圓心為頂點(diǎn)的三角形為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2R，內(nèi)角為60，如圖a所示

由幾何關(guān)系知R=

解得h=

(3)當(dāng)帶電小球在Ⅰ區(qū)域作圓周運(yùn)動(dòng)的圓弧與PQ相切時(shí)，設(shè)小球釋放時(shí)距MN的高度為h0，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖b所示

半徑R=d

聯(lián)立解得h0=

討論：

i．當(dāng)h≤h0時(shí)，帶電小球進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)域的速度較小，半徑較小，不能進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，由磁場(chǎng)上邊界MN第一次穿出磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)域，此過程電場(chǎng)力做功W=qEs=0

ⅱ．當(dāng)h>h0時(shí)，帶電小球進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)域后由下邊界PQ第一次穿出磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)域進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，此過程電場(chǎng)力做功W=－qEd

解得W=－mgd