Question

2．一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的正方形金屬框，其電阻R=0.5Ω，金屬框放在表面絕緣且光滑的斜面頂端（金屬框上邊與AB重合），由靜止開(kāi)始沿斜面下滑，下滑過(guò)程中穿過(guò)一段邊界與斜面底邊CD平行、寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)后滑至斜面底端（金屬框下邊與CD重合）．設(shè)金屬 框在下滑過(guò)程中的速度為v，與此對(duì)應(yīng)的位移為S，那么v²-s圖象如圖2所示，已知?jiǎng)驈?qiáng)磁場(chǎng) 方向垂直嵙面向上，取g=10m/s²
（1）根據(jù)v²-s圖象所提供的信息，計(jì)算斜面的傾角θ和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度d
（2）計(jì)算勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）現(xiàn)用平行于斜面沿斜面向上的恒力F₁作用在金屬框上，使金屬框從斜面底端CD（金屬 框下邊與CD重合）由靜止開(kāi)始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，勻速通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后，平行斜面沿斜面向上的恒力大小變?yōu)镕₂，直至金屬框到達(dá)斜面頂端（金屬框上邊與從AB重合）_c試計(jì)算恒力 F₁、F₂所做總功的最小值？（F₁、F₂雖為恒力，但大小均未知）．

Answer 1

分析 （1）從圖中可以看出，金屬框先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且磁場(chǎng)的寬度等于金屬框的邊長(zhǎng)，根據(jù)v²-s圖象求出勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)牛頓第二定律求出斜面的傾角．根據(jù)勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程求得磁場(chǎng)寬度d．
（2）根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)重力沿斜面方向的分力等于安培力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）未入磁場(chǎng) F-mgsinθ=ma₂，進(jìn)入磁場(chǎng)F=mgsinθ+F_安，所以F_安=ma₂，通過(guò)安培力做功求出克服安培力做功產(chǎn)生的熱量，在整個(gè)過(guò)程中重力勢(shì)能的增加量可以求出，要計(jì)算恒力F做功的最小值，只要線框到達(dá)最高點(diǎn)的速度為0，此時(shí)做功最小．然后根據(jù)能量守恒進(jìn)行求解．

解答 解：（1）從s=0到s=1.6米的過(guò)程中，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：
v²=2as，
則該段圖線斜率：a=5m/s²，
由牛頓第二定律得：mgsinθ=ma，
解得：θ=30⁰；
從線框下邊進(jìn)磁場(chǎng)到上邊出磁場(chǎng)，均做勻速運(yùn)動(dòng)，由圖示圖象可知：△s=2.6-1.6=1m，d=△s-L=0.5m；
（2）由圖象可知，線框通過(guò)磁場(chǎng)時(shí)，v₁²=16，v₁=4m/s，
安培力：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
由平衡條件得：mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：B=0.5T；
（3）金屬框在進(jìn)入磁場(chǎng)前，由牛頓第二定律得：
F₁-mgsinθ=ma₂，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：F₁=mgsinθ+F_安，
解得：F_安=ma₂，
加速度為：a₂=$\frac{{v}^{2}}{2{s}_{3}}$，
安培力：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
解得：v=2m/s，a₂=2.5m/s²，F(xiàn)_安=ma₂=0.25N，
最小功為：W=2F_安d+mgsinθ（s₁+s₂+s₃）
代入數(shù)據(jù)解得：W=1.95J；
答：（1）斜面的傾角θ=30⁰，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為0.5m；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為0.5T；
（3）所做總功的最小值為1.95J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵讀懂圖象，知道金屬框先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，并能判斷出磁場(chǎng)的寬度等于金屬框的邊長(zhǎng)．