Question

4．如圖所示，在空間有一坐標(biāo)系xOy，直線OP與x軸正方向的夾角為30°．第一象限內(nèi)有兩個(gè)方向都垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域I和II，直線OP是它們的邊界，區(qū)域I中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的質(zhì)子（不計(jì)重力）從平行板電容器AB的A板處由靜止釋放，A、B間電壓為U_l．質(zhì)子經(jīng)加速后，從O點(diǎn)沿與OP成30°角的方向垂直磁場(chǎng)進(jìn)入?yún)^(qū)域I，質(zhì)子先后通過磁場(chǎng)區(qū)域l和II后，恰好垂直打在x軸上的Q點(diǎn)（圖中未畫出）．求：
（1）質(zhì)子從O點(diǎn)進(jìn)磁場(chǎng)的速度大小；
（2）區(qū)域Ⅱ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（3）Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)動(dòng)能定理求質(zhì)子從O點(diǎn)進(jìn)磁場(chǎng)的速度大�。�
質(zhì)子在兩個(gè)磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，質(zhì)子從A點(diǎn)出磁場(chǎng)I時(shí)的速度方向與OP的夾角為30⁰，即與x軸平行．在區(qū)域II中，由題分析可知，質(zhì)子運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周，由幾何知識(shí)作出軌跡，如圖．由幾何關(guān)系，得到質(zhì)子在兩個(gè)磁場(chǎng)中軌跡半徑與OA的關(guān)系，由牛頓第二定律研究?jī)蓚�(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系，求解區(qū)域II中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小．
由圖x=OAcos30°+r₂=r₁cos30°+r₂求解x．

解答 解：（1）質(zhì)子在電容器中加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qU₁=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$
（2）設(shè)質(zhì)子在磁場(chǎng)I和II中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r₁和r₂，區(qū)域II中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′，
由牛頓第二定律：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$
 粒子在兩區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，質(zhì)子從A點(diǎn)出磁場(chǎng)I時(shí)的速度方向與OP的夾角為30⁰，故質(zhì)子在磁場(chǎng)I中軌跡的圓心角為 θ=60°
則△O₁OA為等邊三角形 OA=r₁
r₂=OAsin30°
聯(lián)立解得區(qū)域II中磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B′=2B
（3）Q點(diǎn)坐標(biāo) x=OAcos30°+r₂=r₁cos30°+r₂
得：x=$\frac{（\sqrt{3}+1）\sqrt{2qm{U}_{1}}}{2qB}$
答：（1）質(zhì)子從O點(diǎn)進(jìn)磁場(chǎng)的速度大小為$\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$；
（2）區(qū)域Ⅱ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小2B；
（3）Q點(diǎn)的坐標(biāo)（$\frac{（\sqrt{3}+1）\sqrt{2qm{U}_{1}}}{2qB}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子通過磁場(chǎng)的邊界時(shí)，如果邊界是直線，根據(jù)圓的對(duì)稱性得到，帶電粒子入射速度方向與邊界的夾角等于出射速度方向與邊界的夾角，這在處理有界磁場(chǎng)的問題常常用到．