10.兩條平行光滑金屬導(dǎo)軌足夠長,其水平部分存在著豎直向上的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T,導(dǎo)軌間距離L=0.5m,導(dǎo)軌傾斜部分與水平面夾角θ=30°,頂端所接電阻R=5Ω,現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg,接入導(dǎo)軌間電阻r=3Ω的金屬棒水平橫放在導(dǎo)軌距水平面高度h=0.2m處,由靜止釋放(不計導(dǎo)軌電阻,不計金屬棒滑動時在導(dǎo)軌彎折處的能量損失),求:
(1)金屬棒在導(dǎo)軌水平部分滑動時加速度的最大值am;
(2)金屬棒在水平導(dǎo)軌上做什么運(yùn)動,并求出在整個運(yùn)動過程中電阻R中產(chǎn)生的熱量;
(3)當(dāng)金屬棒沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動位移為x=8m時,金屬棒兩端的電勢差.

分析 (1)當(dāng)金屬棒進(jìn)入水平軌道時,受到向左的安培力作用而減速,產(chǎn)生的感應(yīng)電流減小,受到的安培力減小,加速度最小,所以金屬棒剛進(jìn)入磁場時加速度最大,先求出感應(yīng)電流,再由牛頓第二定律求最大加速度.
(2)金屬棒在水平導(dǎo)軌上做減速運(yùn)動,最終停止運(yùn)動,由能量守恒定律求R上產(chǎn)生的熱量.
(3)根據(jù)牛頓第二定律、加速度的定義式,運(yùn)用微元法求出金屬棒運(yùn)動x=8m位移時的速度,再由E=BLv和歐姆定律求金屬棒兩端的電勢差.

解答 解:(1)金屬棒在斜面上下滑時,有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$,得 v0=$\sqrt{2gh}$
金屬棒剛進(jìn)入磁場時加速度最大,此時金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為 E=BLv
感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{R+r}$
所受的安培力 F=BIL
根據(jù)牛頓第二定律得:F=mam;
聯(lián)立得:am=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{(R+r)m}$
代入解得 am=0.25m/s2;
(2)金屬棒進(jìn)入水平軌道時,受到向左的安培力作用而做減速運(yùn)動,最終停止運(yùn)動.
根據(jù)能量守恒得:
  Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgh=1×10×0.2J=2J
電阻R中產(chǎn)生的熱量 QR=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{5}{5+3}$×2J=1.25J
(3)設(shè)金屬棒沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動速度為v時瞬時加速度為a,則由牛頓第二定律得
   $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma
又 a=$\frac{△v}{△t}$
聯(lián)立得:$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=m$\frac{△v}{△t}$
得:$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$△t=m△v
而v△t=△x
兩邊求和得:$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
即得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{R+r}$=mv0-mv
解得 v=1m/s
金屬棒兩端的電勢差 U=$\frac{R}{R+r}$E=$\frac{R}{R+r}$BLv=$\frac{5}{8}$×2×0.5×1=0.625V
答:
(1)金屬棒在導(dǎo)軌水平部分滑動時加速度的最大值am是0.25m/s2;
(2)金屬棒在水平導(dǎo)軌上做減速運(yùn)動,在整個運(yùn)動過程中電阻R中產(chǎn)生的熱量是1.25J;
(3)當(dāng)金屬棒沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動位移為x=8m時,金屬棒兩端的電勢差是0.625V.

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)與電路知識的綜合,掌握法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和能量守恒定律就可正確求解.在求解有關(guān)熱量的問題,往往有兩種選擇:一是焦耳定律;二是能量守恒定律,對于電流是變化的情形,應(yīng)根據(jù)能量守恒定律求解.

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