Question

1．如圖所示，半徑為R=0.2m的半球形大碗，固定在可以以一定角速度繞豎直軸OO′勻速旋轉的水平轉臺上，其中O為碗中心，O′為碗的最低點，當轉臺不轉動時，把一質量為m=0.1kg的小球（小球可看做質點），從碗的上邊緣無初速度的釋放，到達碗的最低點時，小球的速度為1m/s，球與碗間的動摩擦因數(shù)μ=0.4．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）
（1）求小球在最低點所受滑動摩擦力的大��；
（2）求小球從碗口邊緣到最低點過程中，小球克服摩擦力所做的功；
（3）若轉臺以一定的角速度勻速旋轉，當小球所在位置A點與半球形碗的球心O的連線與豎直方向的夾角為θ=37°時，小球與碗無相對運動趨勢，求小球的速率．

Answer 1

分析 （1）小球在最低點受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出小球受到的支持力的大小，然后后滑動摩擦力的公式即可求出摩擦力的大��；
（2）小球向下運動的過程中，重力和摩擦力做功，由功能關系即可求出摩擦力的功；
（3）小球與碗無相對運動趨勢，說明小球受到的支持力與重力的合力提供向心力，由受力分析結合牛頓第二定律即可求出小球的速度．

解答 解：（1）小球在最低點受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力的合力提供向心力，則：
${F}_{N1}-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：${F}_{N1}=mg+\frac{m{v}^{2}}{R}=0.1×10+\frac{0.1×{1}^{2}}{0.2}=1.5$N
小球受到的摩擦力：f=μF_N1=0.4×1.5=0.6N
（2）小球向下運動的過程中，重力和摩擦力做功，由功能關系得：
mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以：W_f=mgR-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$0.1×10×0.2-\frac{1}{2}×0.1×{1}^{2}=0.15$J
（3）小球與碗無相對運動趨勢，則小球受到的支持力與重力的合力提供向心力，對小球進行受力分析如圖，

由圖可得：$\frac{m{v}^{2}}{Rsinθ}=mgtanθ$
所以：$v=\sqrt{gRsinθtanθ}$=$\sqrt{10×0.2×0.6×\frac{3}{4}}=\sqrt{0.9}≈0.95$m/s
答：（1）小球在最低點所受滑動摩擦力的大小是0.6N；
（2）小球從碗口邊緣到最低點過程中，小球克服摩擦力所做的功是0.15J；
（3）小球與碗無相對運動趨勢，小球的速率是0.95m/s．

點評 解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住第三問時豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解，難度適中．