Question

10．已知火星探測器在距火星表面高h軌道圍繞火星做勻速圓周運動的周期為T，火星視為半徑為R的均勻球體，引力常量為G．求：
（1）火星的平均密度．
（2）火星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出火星的質(zhì)量，從而求出火星的密度．
（2）結(jié)合萬有引力提供向心力，根據(jù)火星的半徑求出火星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得火星的質(zhì)量為：
M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
則火星的平均密度為：
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得第一宇宙速度為：
v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}R}}$．
答：（1）火星的平均密度為$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
（2）火星的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}R}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，知道第一宇宙速度等于貼近星球表面做圓周運動的速度，即軌道半徑等于星球的半徑．