Question

10．如圖甲所示，MNCD為一足夠長的光滑絕緣斜面，EFGH范圍內(nèi)存在方向垂直斜面向下的勻強磁場，磁場邊界EF、HG與斜面底邊MN（在水平面內(nèi)）平行．一正方形金屬框abcd放在斜面上，ab邊平行于磁場邊界．現(xiàn)使金屬框從斜面上某處由靜止釋放，金屬框從開始運動到cd邊離開磁場的過程中，其運動的v-t圖象如圖乙所示．已知金屬框電阻為R，質(zhì)量為m，重力加速度為g，圖乙中金屬框運動的各個時刻及對應的速度均為已知量，求：

（1）磁場區(qū)域的寬度d；
（2）金屬框穿過磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q_熱．

Answer 1

分析 （1）磁場區(qū)域的寬度d等于金屬框ab邊在t₁至3t₁時間內(nèi)運動位移的大小，根據(jù)v-t圖象的面積求解．
（2）由速度圖象讀出加速度，由牛頓第二定律求出斜面傾角的正弦值．線框從t₁時刻進入磁場到t₂時刻離開磁場，金屬框穿過磁場過程中機械能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求出焦耳熱．

解答 解：（1）根據(jù)金屬框運動的v-t圖象可知，金屬框ab邊在t₁時刻開始進入磁場區(qū)域，在t₁至2t₁時間內(nèi)金屬框做速度大小為v₁的勻速直線運動，金屬框cd邊在2t₁時刻開始進入磁場區(qū)域，在2t₁至3t₁時間內(nèi)金屬框做勻加速直線運動，在3t₁時刻，金屬框ab邊離開磁場區(qū)域．
則磁場區(qū)域的寬度d等于金屬框ab邊在t₁至3t₁時間內(nèi)運動位移的大小，根據(jù)v-t圖象得：
$d={v_1}{t_1}+\frac{{（{{v_1}+2{v_1}}）（{3{t_1}-2{t_1}}）}}{2}$…①
解得：$d=\frac{{5{v_1}{t_1}}}{2}$…②
（2）設(shè)光滑絕緣斜面的傾角為θ，正方形金屬框的邊長為l，在金屬框ab邊從t₁時刻進入磁場到金屬框cd邊從t₂時刻離開磁場的過程中，由功能關(guān)系得：$mg（d+l）sinθ=\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2+Q$_熱…③
根據(jù)金屬框運動的v-t圖象可知，金屬框ab邊在t₁時刻開始進入磁場區(qū)域，在t₁至2t₁時間內(nèi)金屬框做速度大小為v₁的勻速直線運動，則有：
l=v₁t₁…④
根據(jù)v-t圖象可知，在0至t₁時間內(nèi)金屬框做初速度為零的勻加速直線運動，又根據(jù)牛頓第二定律得：
$mgsinθ=ma=m\frac{v_1}{t_1}$…⑤
由①～⑤解得：Q_熱=$4m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…⑥
答：（1）磁場區(qū)域的寬度d是$\frac{5{v}_{1}{t}_{1}}{2}$；
（2）金屬框穿過磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q_熱是$4m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$．

點評 本題除了考查電磁感應知識外，著重考查對速度圖象的識別、理解能力，要充分挖掘圖象的信息，如“面積”“斜率”等表示的意義．