Question

15．行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)周期是T，試證明：ρT²是一個(gè)對(duì)任何行星都一樣的常量．

Answer 1

分析 根據(jù)行星對(duì)衛(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，由此計(jì)算出行星的質(zhì)量，行星可看做球體，可知行星的體積，根據(jù)密度的定義式，計(jì)算行星的密度即可．

解答 證明：設(shè)行星的質(zhì)量為M半徑為R，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，
衛(wèi)星受到行星的萬有引力等于其運(yùn)轉(zhuǎn)的向心力有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
解得M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
行星可看成球體，其體積為V=$\frac{4}{3}$πR³
根據(jù)密度的定義式ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{{GT}^{2}}$
所以ρT²=$\frac{3π}{G}$=常量．

點(diǎn)評(píng) 本題掌握一個(gè)重要的關(guān)系：行星對(duì)衛(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，同時(shí)要注意此衛(wèi)星靠近行星表面飛行，其軌道半徑就近似等于行星的半徑．