Question

10．在如圖所示xoy坐標(biāo)系第一象限的三角形區(qū)域（坐標(biāo)如圖中所標(biāo)注3a和$\sqrt{3}$a）內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，在x 軸下方有沿+y方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E．將一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計(jì)）從P（0，-a）點(diǎn)由靜止釋放．由于x軸上存在一種特殊物質(zhì)，使粒子每經(jīng)過一次x軸后（無論向上和向下）速度大小均變?yōu)榇┻^前的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍．
（1）欲使粒子能夠再次經(jīng)過x軸，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀最小是多少？
（2）在磁感應(yīng)強(qiáng)度等于第（1）問中B₀的情況下，求粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場后的軌跡圓與磁場邊界相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B₀．由幾何知識(shí)求出半徑，然后由牛頓第二定律確定磁場強(qiáng)度；
（2）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由t=$\frac{θ}{2π}$T求運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和．

解答 解：（1）設(shè)粒子到O點(diǎn)時(shí)的速度為v₀，
由動(dòng)能定理得：qEa=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEa}{m}}$，
粒子經(jīng)過O點(diǎn)后，速度為v₁，v₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v₀=$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$，
如圖所示，粒子進(jìn)入磁場后的軌跡圓與磁場邊界相切時(shí)，
磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B₀．設(shè)粒子軌道半徑為R₁，有R₁=$\sqrt{3}$atan30°=a，
由牛頓第二定律得：qB₀v₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：B₀=$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）如圖，粒子經(jīng)O₁點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域做勻減速運(yùn)動(dòng)，
后又加速返回，再次進(jìn)入磁場時(shí)的速率：v₂=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²v₁=$\frac{1}{2}$v₁，
此時(shí)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R₂=$\frac{1}{2}$R₁=$\frac{1}{2}$a，
其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，此后不再進(jìn)入磁場．
由幾何關(guān)系可知：∠MO₁′O₁=60°，
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為：T₁=T₂=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2π$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$，
則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{{T}_{2}}{6}$=$\frac{4π}{3}$$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$；
答：（1）欲使粒子能夠再次經(jīng)過x軸，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀最小是$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）在磁感應(yīng)強(qiáng)度等于第（1）問中B₀的情況下，粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{4π}{3}$$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題作為壓軸題涉及的每一問之間有一定梯度，第一問和第二問為常規(guī)題型，只要有一定的物理功底即可拿到分?jǐn)?shù)，第三問的難度具有一定的選拔性，若想成為優(yōu)中之優(yōu)一定要重視數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用．