Question

3．如圖甲所示，表面絕緣、傾角θ=30°的斜面固定在水平地面上，斜面所在空間有一寬度D=0.40m的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，其邊界與斜面底邊平行，磁場方向垂直斜面向上．一個(gè)質(zhì)量m=0.10kg、總電阻R=0.25Ω的單匝矩形金屬框abcd，放在斜面的底端，其中ab邊與斜面底邊重合，ab邊長L=0.50m．從t=0時(shí)刻開始，線框在垂直cd邊沿斜面向上大小恒定的拉力作用下，從靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線框的ab邊離開磁場區(qū)域時(shí)撤去拉力，線框繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，線框向上運(yùn)動(dòng)過程中速度與時(shí)間的關(guān)系如圖乙所示．已知線框在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終未脫離斜面，且保持ab邊與斜面底邊平行，線框與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）線框受到的拉力F的大小；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）線框在斜面上運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)v-t圖象的斜率求出加速度，由牛頓第二定律求解拉力F的大��；
（2）由v-t圖象可知，線框進(jìn)入磁場區(qū)域后以速度2m/s做勻速直線運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，由平衡條件求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）由v-t圖象可知，線框進(jìn)入磁場區(qū)域后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，并以速度v₁勻速穿出磁場，說明線框的寬度等于磁場的寬度 D=0.40m．線框ab邊離開磁場后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度為零時(shí)，由于重力沿斜面方向的分力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，線框不會下滑，根據(jù)能量守恒定律求出線框產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）由v-t圖象可知，在0～0.4s時(shí)間內(nèi)線框做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場時(shí)的速度為 v₁=2.0m/s，所以：
  $a=\frac{{{v_1}-0}}{△t}$…①
根據(jù)牛頓第二定律得 F-mgsinθ-μmgcosθ=ma…②
聯(lián)解①②代入數(shù)據(jù)得：F=1.5 N…③
（2）由v-t圖象可知，線框進(jìn)入磁場區(qū)域后以速度v₁做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律有：E=BLv₁…④
  $I=\frac{E}{R}$…⑤
對于線框勻速運(yùn)動(dòng)的過程，由力的平衡條件有：F-mgsinθ-μmgcosθ-BIL=0…⑥
聯(lián)解④⑤⑥代入數(shù)據(jù)得：B=0.50T…⑦
（3）由v-t圖象可知，線框進(jìn)入磁場區(qū)域后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，并以速度v₁勻速穿出磁場，說明線框的寬度等于磁場的寬度 D=0.40m
線框的速度減為零時(shí)，因?yàn)?mgsinθ=μmgcosθ，所以線框不會下滑．設(shè)線框穿過磁場的時(shí)間為t，則
  t=$\frac{2D}{{v}_{1}}$…⑨
線框在斜面上運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱 Q=I²Rt…（10）
聯(lián)立⑤⑨（10）解得 Q=0.4J 
答：（1）線框受到的拉力F的大小是1.5N；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是0.50T；
（3）線框在斜面上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q是0.4J．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵要根據(jù)速度圖象，正確分析線框的運(yùn)動(dòng)過程，整合了平衡條件、牛頓第二定律、動(dòng)能定理等力學(xué)規(guī)律與電磁感應(yīng)規(guī)律．