Question

18．有一實(shí)心立方體A，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，從內(nèi)部去掉一部分物質(zhì)，剩余部分質(zhì)量為m，一立方體B恰能完全填充A的空心部分，質(zhì)量也為m，如圖所示，即B的外表面與A的內(nèi)表面恰好接觸．整體放在一個(gè)盛有密度為ρ的液體的容器里（容器無(wú)限大），剛開(kāi)始，A漂浮在液面上，用外力使A向下產(chǎn)生位移b，平衡后由靜止釋放，A將要上下振動(dòng)（水的摩擦阻力不計(jì)）．可以證明該振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)過(guò)程中，A始終不離開(kāi)液面，也不被液面埋沒(méi)，已知重力加速度g求：
（1）物體B的最大速率．
（2）在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)A對(duì)B的作用力．

Answer 1

分析 （1）對(duì)整體受力分析，求得撤去外力后整體受到的合力特點(diǎn)，判斷出整體為等價(jià)后的彈簧振子，在平衡位置速度最大，即可求得；
（2）根據(jù)合力得在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)的加速度，根據(jù)牛頓第二定律求作用力，

解答 解：（1）物體剛開(kāi)始漂浮時(shí)F_浮=2mg
A向下產(chǎn)生位移b時(shí)，$F{′}_{浮}=2mg+ρg{L}^{2}b$
撤去外力瞬間，整體所受合力${F}_{合}=ρg{L}^{2}b$
由上分析可知，可以將以后整體的運(yùn)動(dòng)等價(jià)成勁度系數(shù)為k=ρgL²，振幅為b的彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，物體B與整體速度一樣，根據(jù)彈簧振子的性質(zhì)可知，整體回到平衡位置時(shí)速度最大，類(lèi)似彈簧勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}=\frac{1}{2}ρg{L}^{2}^{2}$
解得$v=Lb\sqrt{\frac{ρg}{2m}}$
（2）整體在最低點(diǎn)時(shí)，所受合外力${F}_{合}=ρg{L}^{2}b$
有牛頓第二定律可知整體的加速度a=$\frac{ρg{L}^{2}b}{2m}$
對(duì)B受力分析B受A向上的力F₁
F₁-mg=ma
解得${F}_{1}=mg+ma=mg+\frac{ρg{L}^{2}b}{2}$，方向向上
有對(duì)稱(chēng)性可知，在最高點(diǎn)B的加速度依然為a，方向向下，受A向上的作用力為F₂
mg-F₂=ma
解得${F}_{2}=mg-ma=mg-\frac{ρg{L}^{2}b}{2}$，方向向上
答：（1）物體B的最大速率為$Lb\sqrt{\frac{ρg}{2m}}$．
（2）在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)A對(duì)B的作用力分別為$mg-\frac{ρg{L}^{2}}{2}$和$mg+\frac{ρg{L}^{2}b}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等效后的彈簧振子的速度最大值和作用力，關(guān)鍵是先整體把握，判斷出兩物體做的是勁度系數(shù)為k=ρgL²，振幅為b的彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)