Question

豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平滑道AB與光滑的四分之一圓弧滑道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點相切，軌道放在光滑的水平面上，如圖所示．一個質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點）從軌道的A端以初動能E沖上水平滑道AB，沿著軌道運動，由DC弧滑下后停在水平滑道AB的中點．已知水平滑道AB長為L，軌道ABCD的質(zhì)量為 3m．求：
（1）小物塊的最終速度；
（2）小物塊在水平滑道上受到的摩擦力的大�。�
（3）為了保證小物塊不從滑道的D端離開滑道，圓弧滑道的半徑R至少是多大？

Answer 1

分析：（1）物塊沖上滑道AB后的運動過程中，系統(tǒng)水平方向不受外力，動量守恒，物塊最終與滑道的速度相同，由動量守恒定律求最終速度；
（2）系統(tǒng)的動能損失等于克服摩擦做功，根據(jù)功能關(guān)系求摩擦力的大小；
（3）若小物塊剛好到達(dá)D處，此時它與軌道有共同的速度，此速度與上題最終速度相等，根據(jù)整個過程功能關(guān)系列式求解．

解答：解：（1）小物塊沖上軌道的初速度設(shè)為v，
  E=

1

2

mv2
最終停在AB的中點，跟軌道有相同的速度，設(shè)為V
在這個過程中，系統(tǒng)動量守恒，有mv=（m+M）V
∴v=

1

4

2E m

（2）系統(tǒng)的動能損失用于克服摩擦做功，有
△E=

3

2

fL
解得摩擦力 f=

E

2L

（3）若小物塊剛好到達(dá)D處，此時它與軌道有共同的速度（與V相等），在此過程中系統(tǒng)總動能減少轉(zhuǎn)化內(nèi)能（克服摩擦做功）和物塊的重力勢能，同理，有
△E₁=

1

2

mv2-

1

2

(M+m)v2=

3

4

E=fL+mgR
解得要使物塊不從D點離開滑道，CD圓弧半徑至少為R=

E

4mg

．
答：
（1）小物塊的最終速度為=

1

4

2E m

；
（2）小物塊在水平滑道上受到的摩擦力的大小為

E

2L

；
（3）為了保證小物塊不從滑道的D端離開滑道，圓弧滑道的半徑R至少是

E

4mg

．

點評：本題是系統(tǒng)水平方向動量守恒和能量守恒的類型，關(guān)鍵要抓住臨界條件，結(jié)合兩大守恒定律進(jìn)行分析．