Question

4．如圖所示是在豎直平面內，由斜面和圓形軌道分別與水平面相切連接而成的光滑軌道，圓形軌道的半徑為R．質量為m的小物塊從斜面上距水平面高為h=2.5R的A點由靜止開始下滑，物塊通過軌道連接處的B、C點時，無機械能損失．求：
（1）小物塊通過B點時速度v_B的大小；
（2）小物塊通過圓形軌道最低點C時，軌道對物塊的支持力F_N的大小；
（3）通過計算判斷小物塊能否通過圓形軌道的最高點D？

Answer 1

分析 （1）小物塊從A點運動到B點的過程中，據(jù)機械能守恒定律求解．（2）據(jù)物塊的運動情況和牛頓第二定律求解．（3）據(jù)機械能守恒求出最高點的速度，再與最高點的臨界速度相比較即可判斷．

解答 解：（1）小物塊從A點運動到B點的過程中，由機械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$   
解得：v_B=$\sqrt{5gR}$．
（2）小物塊從B至C做勻速直線運動則有：v_C=v_B=$\sqrt{5gR}$
小物塊通過圓形軌道最低點C時：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=6mg．
（3）若小物塊能從C點運動到D點，由動能定理得：
-mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$  
解得：v_D=$\sqrt{gR}$
設小物塊通過圓形軌道的最高點的最小速度為v_D1，
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：v_D1=$\sqrt{gR}$=v_D
可知小物塊恰能通過圓形軌道的最高點．
答：1）小物塊通過B點時速度v_B的大小為$\sqrt{5gR}$．；
（2）小物塊通過圓形軌道最低點C時，軌道對物塊的支持力F_N的大小5mg；
（3）小物塊恰能通過圓形軌道的最高點D．

點評 此題是動力學問題，解題思路清晰，利用動能定理或機械能守恒定律即可求解；注意圓周運動模型的綜合應用，靈活應用臨界條件判斷是否通過最高點．