Question

7．質(zhì)量為m的小木塊，以初速度v₀滑上靜止于光滑水平地面上質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板，恰好沒有滑出，木塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，試求：
（1）木塊相對(duì)木板靜止時(shí)的速度v；
（2）木塊在木板上滑行的時(shí)間t；
（3）木板相對(duì)地面滑行的距離x₁（至少兩種求法）；
（4）木塊相對(duì)地面滑行的距離x₂（至少兩種求法）；
（5）系統(tǒng)損失的機(jī)械能（摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能）E_損（至少兩種求法）；
（6）若板長(zhǎng)L未知，試求L至少為多長(zhǎng)才能使木塊不能滑離木板．

Answer 1

分析 （1）對(duì)AB組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒定律求出相對(duì)靜止時(shí)的速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出木塊和木板的加速度大小，結(jié)合速度時(shí)間公式求出速度相等經(jīng)歷的時(shí)間．
（3）根據(jù)位移時(shí)間公式求出木板的位移，或根據(jù)動(dòng)能定理求出木板的位移．
（4）根據(jù)位移時(shí)間公式求出木塊的位移，或根據(jù)動(dòng)能定理求出木塊的位移．
（5）根據(jù)能量守恒或功能關(guān)系求出損失的機(jī)械能．
（6）根據(jù)能量守恒求出木板的至少長(zhǎng)度．

解答 解：（1）對(duì)A、B組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒，規(guī)定向右為正方向，
有：mv₀=（M+m）v，
解得v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$．
（2）物塊的加速度大小a₁=μg，木板的加速度大小${a}_{2}=\frac{μmg}{M}$，
根據(jù)v₀-a₁t=a₂t
得，$t=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{M{v}_{0}}{μ（M+m）g}$．
（3）方法一：木板相對(duì)地面的位移${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$．
方法二：對(duì)木板運(yùn)用動(dòng)能定理得，$μmg{x}_{1}=\frac{1}{2}M{v}^{2}$，
解得x₁=$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$．
（4）方法一：木塊相對(duì)地面的位移${x}_{2}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{（{M}^{2}+2Mm）{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$．
方法二：對(duì)木塊運(yùn)用動(dòng)能定理得，-μmgx₂=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得x₂=$\frac{（{M}^{2}+2Mm）{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$．
（5）方法一：根據(jù)能量守恒得，系統(tǒng)損失的機(jī)械能$△E=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$=$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2（M+m）}$．
方法二：系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E=μmg•△x=μmg（x₁-x₂）=$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2（M+m）}$．
（6）根據(jù)能量守恒得，$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$，
解得L=$\frac{M{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$．
答：（1）木塊相對(duì)木板靜止時(shí)的速度v為$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$．
（2）木塊在木板上滑行的時(shí)間t為$\frac{M{v}_{0}}{μ（M+m）g}$．
（3）木板相對(duì)地面滑行的距離x₁為$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$．
（4）木塊相對(duì)地面滑行的距離x₂為$\frac{（{M}^{2}+2Mm）{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$．
（5）系統(tǒng)損失的機(jī)械能（摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能）為$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2（M+m）}$．
（6）若板長(zhǎng)L未知，試求L至少為$\frac{M{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$才能使木塊不能滑離木板．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了滑塊模型，理清木塊和木板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，也可以根據(jù)動(dòng)能定理、能量守恒進(jìn)行求解．