Question

【題目】如圖所示，豎直平面內(nèi)的 3/4 圓弧形光滑管道半徑略大于小球半徑，管道中心到圓心距離為 R， A 端與圓心 O 等高，AD 為水平面，B 端在 O 的正下方，小球自 A 點(diǎn)正上方由靜止釋放，自由下落至 A 點(diǎn)時(shí)進(jìn)入管道

(1)如果管道與小球接觸的內(nèi)側(cè)壁(圖中較小的 3/4 圓周)始終對(duì)小球沒(méi)有彈力，小球釋放點(diǎn)距離 A 點(diǎn)的最小 高度為多大?

(2)如果小球到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，管壁對(duì)小球的彈力大小為小球重力大小的 9 倍。求：

a．釋放點(diǎn)距 A 點(diǎn)的豎直高度

b．落點(diǎn) C 與 A 的水平距離

Answer 1

【答案】（1）1.5R；（2）a.3R ；b. （2-1）R；

【解析】

（1）如果管道與小球接觸的內(nèi)側(cè)壁始終對(duì)小球沒(méi)有彈力，則小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度滿足：mg=m；

從開(kāi)始下落到到達(dá)管的最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒：

解得：hA=1.5R，

則小球釋放點(diǎn)距離A點(diǎn)的最小高度為1.5R.

（2）a.在B點(diǎn)，管壁對(duì)小球的彈力F=9mg，
小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得：F-mg=m，
從小球開(kāi)始下落到達(dá)B點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理可得：mg（h+R）=mvB2-0，
解得，h=3R；
b.小球從B點(diǎn)到達(dá)管道最高點(diǎn)過(guò)程中，由動(dòng)能定理可得：-2mgR=mv′2-mvB2，
小球離開(kāi)管道后做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上：R=gt2，
在水平方向上：x=v′t，
解得：x=2R，
落點(diǎn)C與A的水平距離為（2-1）R；