Question

18．如圖，光滑水平面AB與豎直面的半圓形導(dǎo)軌在B點相連接，導(dǎo)軌半徑為R，一質(zhì)量為m的靜止木塊在A處壓縮彈簧，釋放后，木塊獲得一向右的初速度，當(dāng)它經(jīng)過B點進(jìn)入導(dǎo)軌瞬間對導(dǎo)軌的壓力是其重力的7倍，之后向上運(yùn)動恰能通過軌道頂點C，不計空氣阻力，試求：
（1）彈簧對木塊所做的功；
（2）木塊從B到C過程中克服摩擦力做的功；
（3）木塊離開C點到落回水平面的水平距離．

Answer 1

分析 （1）研究物體經(jīng)過B點的狀態(tài)，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律求出物體經(jīng)過B點的速度，得到物體的動能，物體從A點至B點的過程中機(jī)械能守恒定律，彈簧的做的功等于體經(jīng)過B點的動能；
（2）物體恰好到達(dá)C點時，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出C點的速度，物體從B到C的過程，運(yùn)用動能定理求解克服阻力做的功；
（3）物體離開軌道后做平拋運(yùn)動，運(yùn)用運(yùn)動的合成和分解法求出物體離開C點到落回水平面的水平距離．

解答 解：（1）物塊在B點時，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
由題意：F_N=7mg
物體經(jīng)過B點的動能：E_kB=$\frac{1}{2}$mv_B²=3mgR     
在物體從A點至B點的過程中，根據(jù)動能定理，彈簧的做的功：W=E_kB=3mgR．
（2）物體到達(dá)C點僅受重力mg，根據(jù)牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
得${v}_{c}=\sqrt{gR}$
又：E_kC=$\frac{1}{2}$mv_C²=$\frac{1}{2}$mgR
物體從B點到C點只有重力和阻力做功，根據(jù)動能定理有：W_阻-mg•2R=E_kC-E_kB
解得：W_阻=-0.5mgR
所以物體從B點運(yùn)動至C點克服阻力做的功為：W=0.5mgR．
（3）物體離開軌道后做平拋運(yùn)動，
水平方向有：${v_x}={v_c}=\sqrt{gR}$，x=v_x•t
堅直方向有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立得：x=2R．
答：（1）彈簧開始時的彈性勢能是3mgR；
（2）物體從B點運(yùn)動至C點克服阻力做的功為0.5mgR；
（3）木塊離開C點到落回水平面的水平距離是2R．

點評 本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過B、C兩點的速度，再結(jié)合動能定理、平拋運(yùn)動的知識求解．