Question

8．如圖甲所示，光滑的絕緣細(xì)桿水平放置，有孔小球套在桿上，整個(gè)裝置固定于某一電場中．以桿左端為原點(diǎn)，沿桿向右為x軸正方向建立坐標(biāo)系．沿桿方向電場強(qiáng)度E隨位置x的分布如圖乙所示，場強(qiáng)為正表示方向水平向右，場強(qiáng)為負(fù)表示方向水平向左．圖乙中曲線在0≤x≤0.20m和x≥0.4m范圍可看作直線．小球質(zhì)量m=0.02kg，帶電量q=+1×10^-6C．若小球在x₂處獲得一個(gè)v=0.4m/s的向右初速度，最遠(yuǎn)可以運(yùn)動(dòng)到x₄處．
（1）求桿上x₄到x₈兩點(diǎn)間的電勢差大小U；
（2）若小球在x₆處由靜止釋放后，開始向左運(yùn)動(dòng)，求：
a．加速運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度a_m；
b．向左運(yùn)動(dòng)的最大距離s_m；
（3）若已知小球在x₂處以初速度v₀向左減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后又返回x₂處，所用總時(shí)間為t₀，求小球在x₂處以初速度4v₀向左運(yùn)動(dòng)，再返回到x₂處所用的時(shí)間．（小球運(yùn)動(dòng)過程中始終未脫離桿）你可能不會(huì)計(jì)算，但小球向左運(yùn)動(dòng)過程中受力特點(diǎn)你并不陌生，請展開聯(lián)想，通過類比分析得出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)U=Ed即可解；
（2）a、場強(qiáng)最大處電場力最大，加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律即可求解最大加速度；
b、先由動(dòng)能定理求出${x}_{2}^{\;}$與${x}_{4}^{\;}$之間的電勢差，再根據(jù)動(dòng)能定理求出向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)處距${x}_{2}^{\;}$處的距離為x′，即可求出向左運(yùn)動(dòng)的最大距離；
（3）分析小球的受力及運(yùn)動(dòng)符合簡諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，運(yùn)用簡諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出時(shí)間；

解答 解：（1）${x}_{4}^{\;}$與${x}_{8}^{\;}$之間為勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度為：$E=4×1{0}_{\;}^{3}V/m$
U=Ed
得：U=1600V
（2）a、加速運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過${x}_{3}^{\;}$處場強(qiáng)最大，為：
${F}_{m}^{\;}={E}_{m}^{\;}q$
由牛頓第二定律有：${F}_{m}^{\;}=m{a}_{m}^{\;}$
得：${a}_{m}^{\;}=0.6$$m/{s}_{\;}^{2}$
b、設(shè)${x}_{2}^{\;}$與${x}_{4}^{\;}$之間的電勢差為${U}_{2}^{\;}$，由動(dòng)能定理有：
$-q{U}_{2}^{\;}=0-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
得：${U}_{2}^{\;}=1.6×1{0}_{\;}^{3}V$
設(shè)${x}_{4}^{\;}$與${x}_{6}^{\;}$之間的電勢差為${U}_{1}^{\;}$：${U}_{1}^{\;}=0.8×1{0}_{\;}^{3}V$
設(shè)向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)處距${x}_{2}^{\;}$處的距離為x′，電場強(qiáng)度大小為${E}_{x′}^{\;}$
帶電小球由位置${x}_{6}^{\;}$處到最遠(yuǎn)處的過程：
根據(jù)動(dòng)能定理：$q{U}_{1}^{\;}+q{U}_{2}^{\;}-q\frac{1}{2}{E}_{x′}^{\;}x′=0$
$\frac{E}{x′}=\frac{3.75×1{0}_{\;}^{4}}{0.05}$
得：x′=0.08m=8cm
所以${S}_{m}^{\;}=（0.6-0.2）+x′=0.48m$
（3）如圖：

設(shè)距${x}_{2}^{\;}$處左側(cè)距離為x處的電場強(qiáng)度大小為${E}_{x}^{\;}$，小球在距${x}_{2}^{\;}$處左側(cè)距離為x處所受電場力大小為F：$F={E}_{x}^{\;}q$
由圖可知：${E}_{x}^{\;}=Kx$（K為常量）
所以：F=qKx
小球在${x}_{2}^{\;}$處左側(cè)所受電場力方向總指向${x}_{2}^{\;}$（向右）
小球在${x}_{2}^{\;}$處左側(cè)相對于${x}_{2}^{\;}$處的位移總背離${x}_{2}^{\;}$（向左）
綜上可知：電場力F的大小與x成正比，方向與x方向相反．小球向左的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)的一部分，振動(dòng)周期與振幅無關(guān)，小球從${x}_{2}^{\;}$處向左運(yùn)動(dòng)再返回的時(shí)間是簡諧運(yùn)動(dòng)的半個(gè)周，因此以4v為初速度的時(shí)間仍為${t}_{0}^{\;}$．
答：（1）求桿上x₄到x₈兩點(diǎn)間的電勢差大小U為1600V；
（2）a．加速運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度${a}_{m}^{\;}$為0.6$m/{s}_{\;}^{2}$；
b．向左運(yùn)動(dòng)的最大距離${s}_{m}^{\;}$為0.48m；
（3）小球在x₂處以初速度4v₀向左運(yùn)動(dòng)，再返回到x₂處所用的時(shí)間仍為${t}_{0}^{\;}$

點(diǎn)評(píng) 解答此題的關(guān)鍵是從圖象中獲得信息，分析清楚小球的受力及運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)．正確運(yùn)用牛頓第二定律及動(dòng)能定理求解，尤其是運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)要注意正功和負(fù)功．