Question

17．小型登月器連接在航天站上，一起繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為月球半徑的5倍，某時(shí)刻，航天站使登月器減速分離，登月器沿如圖所示的橢圓軌道登月，在月球表面逗留一段時(shí)間完成科考工作后，經(jīng)快速啟動(dòng)仍沿原橢圓軌道返回，當(dāng)?shù)谝淮位氐椒蛛x點(diǎn)時(shí)恰與航天站對(duì)接，整個(gè)過(guò)程中航天站保持原軌道繞月運(yùn)行（登月器減速登月及快速啟動(dòng)過(guò)程的時(shí)間可以忽略不計(jì)）．已知月球表面的重力加速度為g，月球半徑為R，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則登月器可以在月球上停留的最短時(shí)間約為（　�。�

• A． 10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$-6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$
• B． 6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$-4$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． 10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$-2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• D． 6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$-2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 對(duì)登月器和航天站依據(jù)開(kāi)普勒第三定律列出等式，為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天站實(shí)現(xiàn)對(duì)接，根據(jù)周期關(guān)系列出等式求解．

解答 解：設(shè)登月器和航天站在軌道半徑為5R的軌道上運(yùn)行時(shí)的周期為T(mén)，因其繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，得
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，且 r=5R
解之得 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=10π$\sqrt{\frac{5{R}^{3}}{GM}}$
在月球表面上，物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力，有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
則得 GM=gR²
所以 T=10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$
設(shè)登月器在小橢圓軌道運(yùn)行的周期是T₁．對(duì)登月器和航天站依據(jù)開(kāi)普勒第三定律分別有
    $\frac{{T}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{（5R）^{3}}{（3R）^{3}}$ 
解得 T₁=6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$
所以登月器可以在月球上停留的最短時(shí)間約為 t=T-T₁=10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$-6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$
故選：A

點(diǎn)評(píng) 該題考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握萬(wàn)有引力提供向心力公式及開(kāi)普勒第三定律的公式，求出登月器和航天站的運(yùn)行周期．