Question

11．如圖所示，環(huán)形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，內(nèi)圓半徑為R，外圓半徑為（1+$\sqrt{2}$）R，兩圓的圓心（重合）處不斷向外發(fā)射電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，不計(jì)粒子所受重力及粒子間相互作用，粒子發(fā)射速度方向都水平向右，而速度大小都不同，導(dǎo)致一部分粒子從外圓飛出磁場(chǎng)，而另一部分粒子第一次出磁場(chǎng)是飛入內(nèi)圓．
（1）如果粒子從外圓飛出磁場(chǎng)，求粒子的速度大小范圍．
（2）如果粒子從外圓飛出磁場(chǎng)，求這些粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍．
（3）如果粒子第一次出磁場(chǎng)是飛入內(nèi)圓，求這些粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次出磁場(chǎng)所用的時(shí)間范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)粒子的軌跡和外圓相切時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，由洛倫茲力提供向心力求出速度${v}_{1}^{\;}$，粒子要從外圓飛出，則粒子速度$v＞{v}_{1}^{\;}$
（2）剛好從外圓飛出時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，求出最長(zhǎng)時(shí)間，即可求出這些粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍；
（3）粒子第一次出磁場(chǎng)是飛入內(nèi)圓，求出軌跡圓弧所對(duì)圓心角范圍，結(jié)合周期公式，即可得出這些粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次出磁場(chǎng)所用的時(shí)間范圍

解答 解：（1）粒子射出的速度大小不同，軌跡圓的半徑不同，設(shè)剛好與外圓相切時(shí)，軌跡圓半徑為r₁，如圖所示
由幾何關(guān)系有：（$\sqrt{2}R$+R-r₁）²=R²+${r}_{1}^{2}$
得：r₁=R
洛倫茲力提供向心力，有：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
聯(lián)立得：v₁=$\frac{qBR}{m}$
如果粒子從外圓飛出，則粒子的速度為：v＞$\frac{qBR}{m}$
（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則有：
T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
剛好從外圓飛出時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，其軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為θ=$\frac{3π}{4}$
則從外圓飛出磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁＜$\frac{\frac{3π}{4}}{2π}T$，得0＜t₁＜$\frac{3πm}{4qB}$
（3）若粒子第一次出磁場(chǎng)是飛入內(nèi)圓，則其軌跡圓弧所對(duì)圓心角范圍為：π＜θ＜$\frac{3}{2}$π
飛入內(nèi)圓的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂滿足：$\frac{T}{2}$＜t₂＜$\frac{\frac{3π}{2}}{2π}T$
得：$\frac{πm}{qB}$＜t₂＜$\frac{3πm}{2qB}$
答：（1）如果粒子從外圓飛出磁場(chǎng)，粒子的速度大小范圍$v＞\frac{qBR}{m}$．
（2）如果粒子從外圓飛出磁場(chǎng)，這些粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍$0＜{t}_{1}^{\;}＜\frac{3πm}{4qB}$．
（3）如果粒子第一次出磁場(chǎng)是飛入內(nèi)圓，這些粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次出磁場(chǎng)所用的時(shí)間范圍$\frac{πm}{qB}＜{t}_{2}^{\;}＜\frac{3πm}{2qB}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)及電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意正確分析物理過程，明確帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，靈活應(yīng)用幾何關(guān)系求解，注意粒子的周期運(yùn)動(dòng)．