Question

如圖甲所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xoy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)加有與xoy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在坐標(biāo)原點(diǎn)O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速度為的帶電微粒。（已知重力加速度g）

（1）當(dāng)帶電微粒發(fā)射裝置連續(xù)不斷地沿y軸正方向發(fā)射這種帶電微粒時(shí)，這些帶電微粒將沿圓形磁場(chǎng)區(qū)域的水平直徑方向離開磁場(chǎng)，并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向。

（2）調(diào)節(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)處的帶電微粒發(fā)射裝置，使其在xoy平面內(nèi)不斷地以相同速率v₀沿不同方向?qū)⑦@種帶電微粒射入第Ⅰ象限，如圖乙所示�，F(xiàn)要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向運(yùn)動(dòng)，則在保證電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向不變的條件下，求出符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。          

Answer 1

（1）微粒沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，即：帶電微粒所受重力與電場(chǎng)力平衡。設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，由平衡條件得：          （2分）

                  解得：                        （1分）

       電場(chǎng)方向沿軸正方向            （1分）

       帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且圓運(yùn)動(dòng)半徑r=R。

       設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。由牛頓第二定律得：

                                                （2分）

       解得：                                   （1分）

       磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外                   （1分）

   解法一：（2）帶電微粒在磁場(chǎng)內(nèi)做半徑為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

       帶電微粒射入方向不同時(shí)的軌跡，如圖所示    （2分）

    帶電微粒經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，射出時(shí)的半徑沿豎直方向

即：磁場(chǎng)邊界上P點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y）應(yīng)滿足方程：

                  （1分）

              （1分）

即：磁場(chǎng)邊界的方程為：                       （1分）

     沿y軸正方向射入的微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡為磁場(chǎng)的另一邊界，方程為

                          （2分）

     符合題目要求的最小磁場(chǎng)的范圍應(yīng)是圓與圓的

       交集部分（圖中陰影部分）。                   （1分）

       由幾何關(guān)系，可以求得符合條件的磁場(chǎng)的最小面積為：

                      （2分）

解得：                            （1分）

 

解法二：(2)沿y軸正方向射入的微粒，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：以半徑R沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)恰好運(yùn)動(dòng)四分之一圓弧，該圓弧也恰為微粒運(yùn)動(dòng)的上邊界。（2分）

以O點(diǎn)為圓心，R半徑做的四分之一圓狐BC為微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心軌跡（3分）

微粒經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，即半徑沿豎直方向。并且射出點(diǎn)距圓心軌跡上各點(diǎn)的距離為R，射出點(diǎn)的邊界與圓弧BC平行如圖中的圓弧ODA（3分）

圓弧OA與圓弧ODA之間的區(qū)域即為磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

       （2分）

解得：（1分）

其它解法只要正確也給分