Question

20．如圖所示，厚0.2m、長2m的木板AB靜止在粗糙水平地面上，C為其中點．木板上表面AC部分光滑，CB部分粗糙，下表面與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.1．木板右端靜止放置一個小物塊（可看成質(zhì)點），它與木板CB部分的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2．已知木板和小物塊的質(zhì)量均為2kg，重力加速度g取10m/s²．現(xiàn)對木板施加一個水平向右的恒力F，

（1）為使小物塊與木板保持相對靜止，求恒力的最大值F_m；
（2）當(dāng)F=20N時，求小物塊經(jīng)多長時間滑到木板中點C；
（3）接第（2）問，當(dāng)小物塊到達C點時撤去F，求小物塊落地時與木板A端的距離．

Answer 1

分析 （1）先對小物塊分析受力知它的最大加速度，再對整體受力分析知拉力的范圍；
（2）小物塊相對于長木板發(fā)生相對滑動，分別受力分析求解加速度，根據(jù)位移時間關(guān)系求解時間．
（3）求出撤掉外力時各自速度分別為v₁、v₂，分別受力分析求解加速度，以長木板為參考系，根據(jù)速度位移關(guān)系求解速度，最后根據(jù)位移時間求解小物塊落地時與木板A端的距離．

解答 解：（1）小物塊能夠達到的最大加速度為a_m
μ₂mg=ma_m
解得：a${\;}_{m}=2m/{s}^{2}$
對整體進行受力分析
F_m-μ₁（M+m）g=（M+m）a_m
解之得  F_m=12N
（2）此時小物塊相對于長木板發(fā)生相對滑動
對長木板受力分析  F-μ₁（M+m）g-μ₂mg=Ma₁
得a₁=6m/s²
小物塊加速度a₂=μ₂g=2m/s²
$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}L$
可得  t${\;}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$s
（3）撤掉外力時各自速度分別為v₁、v₂
v₁=a₁t₁=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$m/s    v₂=a₂t₁=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$m/s
撤掉外力后，物塊勻速，木板勻減速加速度為a₃
μ₁（M+m）g=Ma₃
得a₃=2m/s²
設(shè)小物塊從長木板中點滑動到最左端時長木板速度為v₃，以長木板為參考系，則有
2a₃×$\frac{L}{2}$=$（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}-（{v}_{3}-{v}_{2}）^{2}$
可得此時${v}_{3}=2+\sqrt{2}$m/s
此時長木板的做減速運動加速度為μ₁Mg=Ma₄，
得a₄=1m/s²
此后小物塊做平拋運動，長木板做勻減速度運動，落地時距長木板左端的距離為
   $△s={v}_{3}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{1}{2}$ $（\sqrt{\frac{2h}{g}}）^{2}$-${v}_{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.38m
答：（1）為使小物塊與木板保持相對靜止，求恒力的最大值為12N；
（2）當(dāng)F=20N時，小物塊經(jīng)$\frac{\sqrt{2}}{2}$s滑到木板中點C；
（3）當(dāng)小物塊到達C點時撤去F，小物塊落地時與木板A端的距離為0.38m．

點評 本題是相對運動的題目，要對每個物體分別分析其運動情況，利用運動學(xué)的基本公式，再根據(jù)速度和位移的關(guān)系及牛頓第二定律求解．本題運動過程較為復(fù)雜，難度較大．