Question

如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q的正離子，在D處沿著圖示的方向進(jìn)入磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，此磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，結(jié)果離子正好從離開A點(diǎn)距離為d的小孔C沿垂直于AC的方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，此電場(chǎng)方向與AC平行且向上，最后離子打在B處，而B離A點(diǎn)距離為2d（AB⊥AC），不計(jì)粒子重力，離子運(yùn)動(dòng)軌跡始終在紙面內(nèi)．求：
（1）離子從D到B所需的時(shí)間；
（2）離子到達(dá)B處時(shí)的動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r．離子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式結(jié)合可求出半徑和周期．找出離子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角，可求得時(shí)間．離子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求出離子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．即能求出總時(shí)間．
（2）由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出離子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的距離，根據(jù)動(dòng)能定理求出離子到達(dá)P處時(shí)的動(dòng)能．

解答：解：如圖，離子從D處進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r，離子初速度為v₀，
洛倫茲力提供向心力，則有：qv0B=

mv0

r

，
畫出粒子的軌跡，由幾何關(guān)系得：d=r+rcos60°．
所以DC圓弧對(duì)應(yīng)圓心角θ=120°，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：
T=

2πm

qB

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t1=

T

3

=

2πm

3qB

；
在電場(chǎng)中離子做類似平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，場(chǎng)強(qiáng)為E，則有：2d=v₀t₂，
d=

1

2

a

t

2 2

=

qE t 2 2

2m

，
解得：t2=

3m

qB

．
離子從D到B需時(shí)間：t=t1+t2=

(2π+9)m

qB

．
（2）離子從C到B電場(chǎng)力做功．由動(dòng)能定理得：qEd=EkB-

1

2

m

v

2 0

，
解得：EkB=

4q2B2d2

9m

．
答：（1）離子從D到B所需的時(shí)間t=

(2π+9)m

qB

；
（2）離子到達(dá)B處時(shí)的動(dòng)能EkB=

4q2B2d2

9m

．

點(diǎn)評(píng)：本題離子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)畫軌跡是解題的關(guān)鍵，在電場(chǎng)中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解進(jìn)行研究．