Question

11．如圖所示，在xoy坐標系的原點O處有一點狀的放射源，它向xoy平面內的x軸上方各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度大小均為v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內分布有指向E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$y軸正向的勻強電場，場強大小，其中q、m分別為α粒子的電量和質量；在d＜y＜2d的區(qū)域內分布有垂直于xoy平面向里的勻強磁場，MN為電場和磁場的邊界．AB為一塊很大的平面感光板垂直于xoy平面且平行于x軸，放置于y=2d處．觀察發(fā)現此時恰好無粒子打到AB板上．（q、d、m、v₀均為已知量，不考慮α粒子的重力及粒子間的相互作用）．求：
（1）α粒子通過電場和磁場邊界MN時的速度大小及此時距y軸的最大距離．
（2）磁感應強度B的大�。�
（3）將AB板至少向下平移多少距離，才能使所有粒子均能打到AB板上？此時AB板上被α粒子打中的區(qū)域長度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出α粒子剛進人磁場時的動能．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進入磁場偏轉的角度最大，若該粒子進入磁場不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據帶電粒子在電場中類平拋運動，求出進入磁場中的偏轉角度，結合幾何關系得出軌道半徑，從而得出磁感應強度的大小．
（3）沿x軸負方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑大小得出磁場的寬度，從而確定出ab板移動的位置，根據幾何關系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

解答 解：（1）根據動能定理：$Eqd=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
可得：v=2v₀
初速度方向與x軸平行的粒子通過邊界mn時距y軸最遠，
由類平拋知識：
$d=\frac{1}{2}a{t^2}$
Eq=ma
x=v₀t
解得：$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}d$
（2）根據上題結果，對于沿x軸正方向射出的粒子進入磁場時與x軸正方向夾角：$θ=\frac{π}{3}$

初速度方向與x軸平行的粒子通過邊界mn時距y軸最遠，而且與mn之間的夾角最小，由圖可得，若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡與ab板相切是臨界條件，可得其圓周運動的半徑：$r=\frac{2}{3}d$
又根據洛倫茲力提供向心力：$Bqv=\frac{{m{v^2}}}{r}$
可得：$B=\frac{{3m{v_0}}}{qd}$
（3）由分析可知沿x軸負方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．
由分析可知此時磁場寬度為原來的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}$d，
則：ab板至少向下移動：$△y=\frac{2}{3}d$
沿x軸正方向射出的粒子打在ab板的位置粒子打在ab板區(qū)域的右邊界
由幾何知識可知：ab板上被粒子打中區(qū)域的長度：$L=2x+r=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}d+\frac{2}{3}d$
答：（1）α粒子通過電場和磁場邊界mn時的速度大小及距y軸的最大距離為$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}d$；
（2）磁感應強度B的大小$B=\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）將ab板至少向下平移$△y=\frac{2}{3}d$的距離才能使所有的粒子均能打到板上，此時ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度$L=\frac{4\sqrt{3}}{3}d+\frac{2}{3}d$．

點評 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵確定粒子運動的臨界情況，通過幾何關系解決，對學生數學幾何能力要求較高．