Question

在如圖甲所示的空間里，存在垂直紙面向里即水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，在豎直方向存在如圖乙所示交替變化的電場(chǎng)（豎直向上為正），電場(chǎng)強(qiáng)度E₀大小為，空間中有一傾角為θ的足夠長(zhǎng)的光滑絕緣斜面，斜面上有一質(zhì)量為m，帶電荷量為-q的小球，從t=0時(shí)刻由靜止開(kāi)始沿斜面下滑，設(shè)第7s內(nèi)小球不會(huì)離開(kāi)斜面，重力加速度為g，求：
（1）第2s末小球速度υ²的大��；
（2）前8s內(nèi)小球通過(guò)的路程L；
（3）若第19s末小球仍未離開(kāi)斜面，θ角應(yīng)滿(mǎn)足的條件。

Answer 1

解：（1）第一秒內(nèi)小球受到豎直向下的重力mg和電場(chǎng)力qE₀作用，在斜面上以加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)。
由牛頓第二定律得 (mg+qE₀)sinθ=ma
第一秒末小球的速度 υ₁=at₁=2gsinθ
第二秒內(nèi)電場(chǎng)力反向，且滿(mǎn)足qE₀=mg
第二秒內(nèi)小球受到洛倫茲力作用將離開(kāi)斜面以υ₁做半徑為R₂的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
由向心力公式得
小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期
結(jié)合題圖可知，小球在奇數(shù)秒內(nèi)沿斜面做勻加速運(yùn)動(dòng)，
在偶數(shù)秒內(nèi)離開(kāi)斜面恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。

小球第2s末的速度υ₂=υ₁=at₂=2gsinθ
（2）第3s末小球速度υ₃=a(t₁+t₃)=4gsinθ
第5s末速度υ₅=a(t₁+t₃+t₅)=6gsinθ
第7s末速度υ₇=a(t₁+t₃+t₅+t₇)=8gsinθ
第2s內(nèi)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
第4s內(nèi)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
第6s內(nèi)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
第8s內(nèi)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
第1s內(nèi)小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的路程
第2s內(nèi)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的路程s₂=2πR₂=2gsinθ
0～8s內(nèi)小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的總路程L₁=s₁+3s₁+5s₁+7s₁=16s₁=16gsinθ
0～8s內(nèi)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的總路程L₂=s₂+s₄+s₆+s₈=s₂+2s₂+3s₂+4s₂=10s₂=20gsinθ
前8s內(nèi)小球通過(guò)的路程L=L₁+L₂=36gsinθ 
（3）第19s末仍在斜面上，則有υ₁₉=a(t₁+t₃+t₅+t₇+t₉+t₁₁+t₁₃+t₁₅+t₁₇+t₁₉)=10a=20gsinθ
且19s末小球所受洛倫茲力Bqυ₁₉、重力mg和電場(chǎng)力qE₀作用，應(yīng)滿(mǎn)足 Bqυ₁₉≤(mg+qE₀)cosθ
解得。