Question

20．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的某個定點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化的過程中，總質(zhì)量、運(yùn)行周期、距離均可發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)做圓周運(yùn)動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時的運(yùn)動周期變?yōu)椋ā　。?table class="qanwser">A．$\sqrt{\frac{n^2}{k}}T$B．$\sqrt{\frac{k}{n^3}}T$C．$\sqrt{\frac{n^3}{k}}T$D．$\root{3}{{\frac{n^2}{k}}}T$

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式，分別對兩星進(jìn)行列式，即可來求解．

解答 解：設(shè)m₁的軌道半徑為R₁，m₂的軌道半徑為R₂．兩星之間的距離為L．
由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
對m₁：G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R₁…①
對m₂：G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R₂…②
又因?yàn)镽₁+R₂=L，m₁+m₂=M
由①②式可得：T=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
所以當(dāng)兩星總質(zhì)量變?yōu)镵M，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，圓周運(yùn)動的周期為 T′=2π$\sqrt{\frac{{（nL）}^{3}}{GkM}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}T$，故ABD錯誤，C正確．
故選：C．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度，能運(yùn)用萬有引力提供向心力進(jìn)行解題．