Question

11．小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動．當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時，繩恰好斷掉，球飛行水平距離d后落地，如圖所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為$\frac{3}{4}d$，重力加速度為g．忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力．
（1）求繩斷時球的速度大小V
（2）問繩能承受的最大拉力多大？
（3）改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動（握繩的手離地面高度為d不變），若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）繩斷后，小球做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的高度求出時間，根據(jù)水平位移和時間求出繩斷時球的速度大�。�
（2）根據(jù)在最低點(diǎn)，合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求出最大拉力．
（3）先根據(jù)牛頓第二定律求解最低點(diǎn)速度，然后根據(jù)平拋運(yùn)動的分位移公式列式表示射程，對公式分析求解最大值．

解答 解：（1）設(shè)繩斷后球做平拋運(yùn)動的時間為t₁，
豎直方向上：$\frac{1}{4}$d=$\frac{1}{2}$gt₁²，
水平方向上：d=v₁t₁
解得：v₁=$\sqrt{2gd}$．
（2）設(shè)繩能承受的最大拉力為F_m．
球做圓周運(yùn)動的半徑為：R=$\frac{3}{4}$d
F_m-mg=m $\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：F_m=$\frac{11}{3}$mg
（3）在圓周的最低點(diǎn)，有：F_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
平拋運(yùn)動，有：d-l=$\frac{1}{2}$gt²
s=vt
聯(lián)立解得：s=$\sqrt{\frac{16l（d-l）}{3}}$，當(dāng)l=d-l時，即繩長為$\fracbtrpbd2{2}$時，s最大為$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$
答：（1）繩斷開時小球的速度為$\sqrt{2gd}$；
（2）繩能承受的最大拉力為$\frac{11}{3}$mg；
（3）繩長為$\fracxk5ltqi{2}$時，s最大為$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$．

點(diǎn)評 本題綜合了平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動兩個運(yùn)動，關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動規(guī)律，以及圓周運(yùn)動向心力的來源．