Question

12．如圖所示，一輕質彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37⁰的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然伸長狀態(tài)．直軌道與一半徑為R的光滑圓弧軌道相切于C點，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直平面內．質量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑，最低到達E點（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高到達F點，AF=4R．已知P與直軌道間的動摩擦因數μ=0.25，重力加速度大小為g．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求P第一次運動到B點時速度的大��；
（2）求P運動到E點時彈簧的彈性勢能；
（3）改變物塊P的質量，將P推至E點，從靜止開始釋放．P到達圓軌道最高點D時對軌道的壓力為重力的0.2倍，求P運動到D點時速度的大小和改變后小物塊P的質量．

Answer 1

分析 （1）對C到B的過程應用動能定理即可求解；
（2）對C到E和E到F的運動過程分別應用動能定理，即可聯立求解；
（3）由牛頓第三定律求得P在D處受到的支持力，然后由牛頓第二定律求得速度，即可由動能定理求解．

解答 解：（1）P從C到B的過程作用重力、摩擦力做功，故由動能定理可得：$mgBCsin37°-μmgBCcos37°=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，所以，${v}_{B}=\sqrt{2gBC（sin37°-μcos37°）}=2\sqrt{gR}$；
（2）設AE=x，那么CE=7R-x，EF=4R-x；
對滑塊從C到E應用動能定理可得：mgCEsin37°-μmgCEcos37°-E_p=0，所以，E_p=0.4mgCE=0.4mg（7R-x）；
對滑塊從E到F應用動能定理可得：E_p-mgEFsin37°-μmgEFcos37°=0，所以，E_p=0.8mgEF=0.8mg（4R-x）；
所以，x=R，E_p=2.4mgR；
（3）P到達圓軌道最高點D時對軌道的壓力為重力的0.2倍，那么由牛頓第三定律可得：P受到軌道的作用力F_N=0.2m′g，方向豎直向下；
在最高點D，由牛頓第二定律可得：${F}_{N}+m′g=\frac{m′{{v}_{D}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{D}=\sqrt{1.2gR}$；
對P從E到D的運動過程應用動能定理可得：${E}_{p}-m′g（CEsin37°+Rcos37°+R）-μm′gCEcos37°=\frac{1}{2}m′{{v}_{D}}^{2}=0.6m′gR$；
所以，2.4mgR-5.4m′gR-1.2m′gR=0.6m′gR，所以，$m′=\frac{1}{3}m$；
答：（1）P第一次運動到B點時速度的大小為$2\sqrt{gR}$；
（2）P運動到E點時彈簧的彈性勢能為2.4mgR；
（3）改變物塊P的質量，將P推至E點，從靜止開始釋放．P到達圓軌道最高點D時對軌道的壓力為重力的0.2倍，則P運動到D點時速度的大小為$\sqrt{1.2gR}$；改變后小物塊P的質量為$\frac{1}{3}m$．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．