Question

15．如圖所示，在光滑水平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，一質(zhì)點(diǎn)在該平面內(nèi)O點(diǎn)受沿x正方向、大小為F的力的作用由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．經(jīng)過(guò)時(shí)間t，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，A、O兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)；在A點(diǎn)作用力突然變?yōu)檠貀軸正方向，大小仍為F，再經(jīng)過(guò)時(shí)間t，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)；在B點(diǎn)將作用力的方向始終與速度方向垂直且改變作用力的大小，使質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)以L為半徑、圓心為O，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．求：
（1）質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m；
（2）質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F₂；
（3）從B點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至距y軸最遠(yuǎn)的距離L₂及所用的時(shí)間t₂．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)點(diǎn)從O到A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，從A到B做類平拋運(yùn)動(dòng)，從B到C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究OA過(guò)程，由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求出質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m．
（2）研究AB過(guò)程，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由牛頓第二定律和分速度公式求出質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的速度，再由向心力公式F_n=m$\frac{{v}^{2}}{L}$求向心力F₂．
（3）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至距y軸最遠(yuǎn)時(shí)速度與y軸正方向平行，由幾何關(guān)系得出距y軸最遠(yuǎn)的距離L₂，進(jìn)而求所用的時(shí)間t₂．

解答 解：（1）從O到A物體做勻加速運(yùn)動(dòng)，在此過(guò)程中，由牛頓第二定律：
F=ma
由運(yùn)動(dòng)學(xué)得：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
聯(lián)立解得：m=$\frac{F{t}^{2}}{2L}$
（2）質(zhì)點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)的速度設(shè)為v，則有：L=$\frac{v}{2}t$
可得：v=$\frac{2L}{t}$
從A到B質(zhì)點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在y方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{2L}{{t}^{2}}$
到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，沿y軸方向的分速度為：v_y=at=$\frac{2L}{t}$
所以到達(dá)B點(diǎn)的速度為：v_B=$\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}L}{t}$，方向與x軸正方向成45°角．
質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為：F₂=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$=4F
（3）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至距y軸最遠(yuǎn)時(shí)速度與y軸正方向平行，由幾何關(guān)系得：
質(zhì)點(diǎn)距y軸最遠(yuǎn)的距離為：L₂=L+vt+L（1-cos45°）=（4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）L
所用的時(shí)間為：t₂=$\frac{\frac{π}{4}•L}{{v}_{{B}_{\;}}}$=$\frac{\sqrt{2}πt}{16}$
答：（1）質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m是$\frac{F{t}^{2}}{2L}$；
（2）質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F₂是4F．
（3）從B點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至距y軸最遠(yuǎn)的距離L₂是（4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）L，所用的時(shí)間t₂是$\frac{\sqrt{2}πt}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要明確質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，采用程序法分析，要知道質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷了勻加速直線運(yùn)動(dòng)、類平拋運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活進(jìn)行研究．