Question

10．如圖所示，MN和PQ是電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌，其間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌彎曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑連接．右端接一個(gè)阻值為R的定值電阻．平直部分導(dǎo)軌左邊區(qū)域有寬度為d、方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．質(zhì)量為m、電阻也為R的金屬棒從高度為h處?kù)o止釋放，到達(dá)磁場(chǎng)右邊界處恰好停止．已知金屬棒與平直部分導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，金屬棒與導(dǎo)軌間接觸良好．則金屬棒穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中（　�。�

• A． 金屬棒的最大電壓為$\frac{1}{2}$BL$\sqrt{2gh}$
• B． 金屬在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{\sqrt{2}d}{\sqrt{gh}}$
• C． 克服安培力所做的功為mgh
• D． 右端的電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{1}{2}$（mgh-μmgd）

Answer 1

分析 金屬棒在彎曲軌道下滑時(shí)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理可以求出金屬棒到達(dá)水平面時(shí)的速度，由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．金屬棒進(jìn)入水平導(dǎo)軌后做減速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)減小，所以金屬棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時(shí)電壓最大．由串聯(lián)電路分壓規(guī)律求出最大電壓；根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式結(jié)合求時(shí)間．克服安培力做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，由動(dòng)能定理（或能量守恒定律）可以求出克服安培力做功，得到導(dǎo)體棒產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：A、金屬棒在下滑過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²，則得金屬棒到達(dá)水平面時(shí)的速度 v=$\sqrt{2gh}$
金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)后受到向左的安培力和摩擦力而做減速運(yùn)動(dòng)，則金屬棒剛到達(dá)水平面時(shí)的速度最大，所以最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv
金屬棒的最大電壓為 U=$\frac{1}{2}$E=$\frac{1}{2}$BL$\sqrt{2gh}$．故A正確；
B、金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，取向右為正方向，根據(jù)牛頓第二定律得：
-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
即得-μmg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$△t=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（-μmg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
則得-μmgt-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{2R}$=0-mv
解得金屬在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t=$\frac{m\sqrt{2gh}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{2R}}{μmg}$．故B錯(cuò)誤．
C、金屬棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：mgh-W_B-μmgd=0-0，則克服安培力做功：W_B=mgh-μmgd，故C錯(cuò)誤；
D、克服安培力做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，電阻與導(dǎo)體棒電阻相等，通過(guò)它們的電流相等，則金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱：Q_R=$\frac{1}{2}$Q=$\frac{1}{2}$W_B=$\frac{1}{2}$（mgh-μmgd），故D正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用積分法求金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，其切入點(diǎn)是牛頓第二定律和瞬時(shí)加速度的定義式．