Question

13．如圖所示，一個質量為M的圓管豎直放置，頂端塞有一個質量為m的彈性小球，M=5m，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為5mg．管從下端離地面距離為H處自由落下，運動過程中，管始終保持豎直，設管落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等，不計空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）管落地彈起時管和球的加速度大小和方向；
（2）管落地彈起后，若球沒有從管中滑出，則管達到最高點時，管的下端距地面的高度；
（3）管彈起后球不致滑落，管長L至少應為多長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對于管的加速度，以管為參考系，根據(jù)速度位移公式求出球相對于管靜止時的相對位移，即可求解．
（2）根據(jù)管上升的加速度，以及相對加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點所需時間和管從碰地到與球相對靜止所需的時間，比較兩個時間知道球與管的運動情況，再根據(jù)運動學公式求出管上升的最大高度．
（3）根據(jù)運動學公式，即可求解．

解答 解：（1）管第一次落地彈起時，
管的加速度${a_1}=\frac{5mg+5mg}{5m}=2g$，方向向下
球的加速度${a_2}=\frac{f-mg}{m}=4g$，方向向上
（2）取豎直向下為正方向．球與管第一次碰地時速度${v_0}=\sqrt{2gH}$，方向向下．
碰地后管的速度${v_1}=-\sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度${v_2}=\sqrt{2gH}$，方向向下
若球剛好沒有從管中滑出，設經過時間t₁，球管速度v相同，
則有-v₁+a₁t₁=v₂-a₂t₁
${t_1}=\frac{{2{v_0}}}{{{a_1}+{a_2}}}=\frac{{\sqrt{2gH}}}{3g}$
又管從碰地到它彈到最高點所需時間t₂，則：${t_2}=\frac{v_0}{a_1}=\frac{{\sqrt{2gH}}}{2g}$
因為t₁＜t₂，說明管在達到最高點前，球與管相對靜止，故管從彈起經t₁這段時間上升的高度為所求．得
${h_1}={v_1}t-\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=\frac{v_1^2}{3g}-\frac{v_1^2}{9g}=\frac{4}{9}H$
球與管達到相對靜止后，將以速度v、加速度 g豎直上升到最高點，由于
$v={v_2}-{a_2}{t_1}=-\frac{1}{3}\sqrt{2gH}$，
故這個高度是${h_2}=\frac{v^2}{2g}=\frac{{{{（\frac{1}{3}\sqrt{2gH}）}^2}}}{2g}=\frac{1}{9}H$
因此，管第一次落地彈起后上升的最大高度$Hm={h_1}+{h_2}=\frac{5}{9}H$
（3）這個高度是${h_2}=\frac{v^2}{2g}=\frac{{{{（\frac{1}{3}\sqrt{2gH}）}^2}}}{2g}=\frac{1}{9}H$
因此，管第一次落地彈起后上升的最大高度$Hm={h_1}+{h_2}=\frac{5}{9}H$
這一過程球運動的位移$s={v_0}{t_1}-\frac{1}{2}{a_2}t_1^2=\frac{2}{9}H$
則球與管發(fā)生相對位移${s_1}={h_1}+s=\frac{2}{3}H$
當管與球從H_m再次下落，第二次落地彈起中，發(fā)生的相對位移由第一次可類推知：${s_2}=\frac{2}{3}{H_m}$
所以管第二次彈起后，球不會滑出管外的條件是s₁+s₂＜L
即L應滿足條件$L＞\frac{28}{27}H$
答：（1）管第一次落地彈起時管和球的加速度分別為2g方向豎直向下和4g方向豎直向上；
（2）管落地彈起后，若球沒有從管中滑出，則管達到最高點時，管的下端距地面的高度是$\frac{5}{9}H$；
（3）管第二次彈起后球不致滑落，L應滿足$L＞\frac{28}{27}H$．

點評 本題的難點在于管和球的運動情況難于判斷，關鍵通過計算理清球和管的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．