Question

10．如圖甲所示，MN、PQ為水平放置的足夠長的平行光滑導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距L=0.5m，導(dǎo)軌左端連接一個(gè)阻值為2Ω的定值電阻R，將一根質(zhì)量為0.2kg的金屬棒cd垂直放置在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒cd的電阻r=2Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，整個(gè)裝置處于垂直導(dǎo)軌平面向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T，若棒以1m/s的初速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)對棒施加水平向右的拉力F，并保持拉力的功率恒為4W，從此時(shí)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過一段時(shí)間t后金屬棒的速度穩(wěn)定不變，電阻R中產(chǎn)生的電熱為3.2J，圖乙為安培力與時(shí)間的關(guān)系圖象，試求：

（1）金屬棒的最大速度；
（2）金屬棒速度為2m/s時(shí)的加速度；
（3）計(jì)算t時(shí)間內(nèi)通過電阻R的電荷量．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)金屬棒所受的拉力和安培力相等時(shí)，受到最大，根據(jù)P=Fv_m，F(xiàn)=BIL聯(lián)立求出金屬棒的最大速度．
（2）求出金屬棒速度為2m/s時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢，從而求出感應(yīng)電流的大小，根據(jù)F=BIL求出安培力的大小，再通過牛頓第二定律求出加速度的大�。�
（3）克服安培力做的功全部轉(zhuǎn)化為整個(gè)回路的熱量，根據(jù)動(dòng)能定理，通過拉力做功W=Pt求出此過程對應(yīng)的時(shí)間．因?yàn)?△q=I•△t=\frac{{F}_{A}^{\;}}{IL}△t$，根據(jù)圖線所圍成的面積求出F_A△t，從而得出0～ts內(nèi)通過電阻R的電量．

解答 解：（1）金屬棒速度最大時(shí)，其加速度為零，所受合外力為零，即ILB=F
而$P=F{v}_{m}^{\;}$，$I=\frac{BL{v}_{m}^{\;}}{R+r}$
得$\frac{P}{{v}_{m}^{\;}}=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{v}_{m}^{\;}}{R+r}$
解得：${v}_{m}^{\;}=\frac{\sqrt{P（R+r）}}{BL}$=$\frac{\sqrt{4×（2+2）}}{2×0.5}=4m/s$
（2）速度為2m/s時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢E=BLv=2×0.5×2V=2V
電流$I=\frac{E}{R+r}=\frac{2}{2+2}A=0.5A$
安培力F′=ILB=2×0.5×0.5N=0.5N
金屬棒受到的拉力$F=\frac{P}{v}=\frac{4}{2}N=2N$
由牛頓第二定律F-F′=ma
解得：$a=\frac{F-F′}{m}=\frac{2-0.5}{0.2}m/{s}_{\;}^{2}=7.5m/{s}_{\;}^{2}$
（3）因?yàn)镽=r，所以${Q}_{R}^{\;}={Q}_{r}^{\;}=3.2J$
由動(dòng)能定理，t時(shí)間內(nèi)棒動(dòng)能變化：${W}_{F}^{\;}+{W}_{安}^{\;}=△{E}_{k}^{\;}$
$-{W}_{安}^{\;}={W}_{電}^{\;}={Q}_{R}^{\;}+{Q}_{r}^{\;}$
根據(jù)功能關(guān)系有：Pt=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+${Q}_{R}^{\;}+{Q}_{r}^{\;}$
解得：t=1.975s
棒運(yùn)動(dòng)過程：F-${F}_{安}^{\;}$=ma，
即F-ILB=$m\frac{△v}{△t}$，
化簡得：F△t-ILB△t=m△v
又由電流強(qiáng)度定義式有：I△t=△q
在t=1.975s時(shí)間內(nèi)對上述兩式求和，有：ΣF△t-LBΣ△q=mΣ△v
由F-t圖象“面積”得到：ΣF△t=1.76N•s
Σ△v=4m/s-1m/s=3m/s
解得：q=Σ△q=1.16C
答：（1）金屬棒的最大速度為4m/s；
（2）金屬棒速度為2m/s時(shí)的加速度$7.5m/{s}_{\;}^{2}$；
（3）計(jì)算t時(shí)間內(nèi)通過電阻R的電荷量為1.16C

點(diǎn)評 本題綜合考查了牛頓第二定律、動(dòng)能定理、功能關(guān)系等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生能力的要求較高，是一道好題．