Question

如圖1所示，水平放置的平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直于金屬板的靶MN，現(xiàn)在A、B板上加上如圖2所示的方波電壓，電壓的正向值為U₀，反向電壓值為

U0

2

，且每隔T/2換向一次，現(xiàn)有質(zhì)量為m、帶正電且電量為q的粒子束從A、B的中點(diǎn)O沿平行于金屬板方向OO′射入，設(shè)粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B間的飛行時(shí)間均為T．不計(jì)重力的影響，試問：
（1）在靶MN上距其中心O′點(diǎn)多遠(yuǎn)的范圍內(nèi)有粒子擊中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？（寫出U₀、m、d、q、T的關(guān)系式即可）

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在電場(chǎng)力的作用下做勻變速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)粒子在0，T，2T，…nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中時(shí)，粒子將打在O′點(diǎn)下方最遠(yuǎn)點(diǎn)，粒子在豎直方向先向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移公式分別求出前

T

2

時(shí)間內(nèi)和后

T

2

時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直方向的位移，再粒子打在距O′點(diǎn)正下方的最大位移．當(dāng)粒子在

T

2

，

3

2

T，…（2n+1）

T

2

時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，將打在O′點(diǎn)上方最遠(yuǎn)點(diǎn)．粒子在豎直方向先向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)．同理求出粒子打在距O′點(diǎn)正上方的最大位移．
（2）要使粒子能全部打在靶上，粒子在豎直方向距O′點(diǎn)的最大位移小于

d

2

．代入（1）問的結(jié)論，求解電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足的條件．

解答：解：帶電粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在電場(chǎng)力的作用下做勻變速運(yùn)動(dòng)．粒子打在靶MN上的范圍，就是粒子在豎直方向所能到達(dá)的范圍．
（1）當(dāng)粒子在0，T，2T，…nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中時(shí)，粒子將打在O′點(diǎn)下方最遠(yuǎn)點(diǎn)，
在前

T

2

時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向下的位移為：s₁=

1

2

a₁（

T

2

）²=

qU0T2

8md

在后

T

2

時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向下的位移為：s₂=v

T

2

-

1

2

a₂（

T

2

）²
將v=a₁

T

2

=

qU0

2md

，代入上式得：s₂=

3qU0T2

16md

故粒子打在距O′點(diǎn)正下方的最大位移為：s=s₁+s₂=

5qU0T2

16md

當(dāng)粒子在

T

2

，

3

2

T，…（2n+1）

T

2

時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，將打在O′點(diǎn)上方最遠(yuǎn)點(diǎn)．
在前

T

2

時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向上的位移為：

s

′ 2

=v′

T

2

-

1

2

a

′ 2

(

T

2

)2   
其中，v′=

a

′ 1

T

2

=

qU0T

4md

，

a

′ 2

=

qU0

md

，代入上式得：s₂′=0，
故粒子打在距O′點(diǎn)正上方的最大位移為：s′=

s

′ 1

+

s

′ 2

=

qU0T2

16md

．
（2）要使粒子能全部打在靶上，須有：

5qU0T2

16md

＜

d

2

，即U₀＜

8md2

5qT2

答：（1）在靶MN上距其中心O′點(diǎn)

qU0T2

16md

的范圍內(nèi)有粒子擊中；
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足U0＜

8md2

5qT2

條件．

點(diǎn)評(píng)：本題是粒子在周期性變化的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵．