Question

5．如圖所示為在水平面的上方有一固定的運(yùn)輸帶，在運(yùn)輸帶的左端A用一小段光滑的圓弧與一光滑的斜面體平滑的銜接，該運(yùn)輸帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下以恒定的向左的速度v₀=2m/s運(yùn)動(dòng)．將一可以視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=2kg的小物體由斜面體上的O點(diǎn)無(wú)初速釋放，經(jīng)A點(diǎn)滑上運(yùn)輸帶，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間小物體從運(yùn)輸帶最右端的B點(diǎn)離開，落地點(diǎn)為C．已知O與A點(diǎn)的高度差為H₁=1.65m、A點(diǎn)距離水平面的高度差為H₂=0.8m、落地面C到運(yùn)輸帶最右端的水平距離為x=1.2m，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小物體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度應(yīng)為多大？
（2）如果僅將O與A點(diǎn)的高度差變?yōu)镠₁′=0.8m，且當(dāng)小物體剛好運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，撤走光滑的斜面體，求小物體落在水平面時(shí)的速度應(yīng)為多大？
（3）在第（2）問(wèn)中小物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）滑塊自運(yùn)輸帶右端飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，已知平拋的水平位移和高度，由分位移公式求解物體運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度．再由機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度．
（2）滑塊由H₁=1.65m處由靜止開始下滑到運(yùn)輸帶，在滑到運(yùn)輸帶右端過(guò)程中，由功能關(guān)系求出摩擦力對(duì)滑塊做功大小W_f．根據(jù)mgH₁′＜W_f，分析知道滑塊先向右減速，速度至零后向左加速，從傳送帶左端離開．根據(jù)動(dòng)能定理求出物體從左端滑出時(shí)的速度，再對(duì)物體離開傳送帶的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解小物體落在水平面時(shí)的速度．
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物體與傳送帶間的相對(duì)位移，從而求得摩擦生熱．

解答 解：（1）設(shè)滑塊滑至運(yùn)輸帶的右端速度為v₁，滑塊自運(yùn)輸帶右端飛出至落地時(shí)間為t，則在水平方向上 x=v₁t
在豎直方向上 H₂=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
設(shè)滑塊落地時(shí)的速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+mgH₂=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由①②③解得 v₁=3m/s，v=5m/s
（2）設(shè)滑塊由H₁=1.65m處由靜止開始下滑到運(yùn)輸帶，在滑到運(yùn)輸帶右端過(guò)程中，摩擦力對(duì)滑塊做功大小為W_f，由功能關(guān)系得
  mgH₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+W_f；
解得 W_f=24J
由于 mgH₁′＜W_f，則滑塊由H₁′=0.8m處開始下滑到運(yùn)輸帶，在滑到運(yùn)輸帶右端前滑塊的速度就應(yīng)減為零，然后滑塊要向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)滑塊由H₁′=0.8m處?kù)o止開始下滑到運(yùn)輸帶，在到達(dá)運(yùn)輸帶左端的速度為v₀′，則
  mgH₁′=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
解得 v₀′=4m/s
因?yàn)?v₀＜v₀′，故滑塊向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，先加速至于運(yùn)輸帶速度相同，后勻速運(yùn)動(dòng)至運(yùn)輸帶左端作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)滑塊從運(yùn)輸帶左端拋出落地時(shí)的速度大小為v₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgH₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 v₂=2$\sqrt{5}$m/s
（3）設(shè)滑塊與運(yùn)輸帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，滑塊由H₁′=0.8m處?kù)o止開始下滑到運(yùn)輸帶，在運(yùn)輸帶上滑到速度為零的過(guò)程中，滑塊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，滑塊與運(yùn)輸帶摩擦所產(chǎn)生的熱量為Q₁，則有
  Q₁=μmg（$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$+v₀t₁）
又對(duì)滑塊，由動(dòng)能定理得
-μmg$\frac{{v}_{0}′}{2}{t}_{1}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
設(shè)滑塊后來(lái)又向運(yùn)輸帶左端運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，滑塊加速至v₀的時(shí)間為t₂，滑塊與運(yùn)輸帶摩擦所產(chǎn)生的熱量為Q₂，則
  Q₂=μmg（v₀t₂+$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$）
對(duì)滑塊，由動(dòng)能定理得 μmg•$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-0
則滑塊自釋放至落地全過(guò)程中滑塊與運(yùn)輸帶摩擦所產(chǎn)生的熱量 Q=Q₁+Q₂．
解得 Q=36J
答：
（1）小物體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度應(yīng)為5m/s．
（2）小物體落在水平面時(shí)的速度應(yīng)為2$\sqrt{5}$m/s．     
（3）小物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量應(yīng)為36J．

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)分析物體的受力情況，來(lái)判斷其運(yùn)動(dòng)情況，抓住每個(gè)過(guò)程遵守的物理規(guī)律是解答的關(guān)鍵．要注意摩擦生熱要根據(jù)相對(duì)位移求．