Question

20．如圖所示，AOBC為某種透明介質(zhì)的截面圖，其中△AOC為直角三角形，∠OAC=53°．BC為半徑R=16cm的四分之一圓弧，AB與水平屏幕MN垂直并接觸于A點．由紅光和紫光兩種單色光組成的復(fù)色光射向圓心O，在AB分界面上的入射角i=53°，結(jié)果在水平屏幕MN上出現(xiàn)兩個亮斑．已知該介質(zhì)對紅光和紫光的折射率分別為n₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，n₂=$\sqrt{2}$，sin53°=0.8；cos53°=0.6．
①判斷在AM和AN兩處產(chǎn)生亮斑的顏色；
②求兩個亮斑間的距離．

Answer 1

分析 ①由全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$可求出紅光與紫光的臨界角，則可判斷是否能發(fā)生全反射，則可得出兩亮斑的顏色；
②由折射定律求出折射角，由幾何知識可求得兩光斑的距離．

解答 解：①設(shè)紅光和紫光的臨界角分別為C₁、C₂，則：
  sinC₁=$\frac{1}{{n}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C₁=60°
  sinC₂=$\frac{1}{{n}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C₂=45°
因為i=53°＞C₂，i＜C₁
所以紫光在AB面發(fā)生全反射，而紅光在AB面一部分折射，一部分反射，且由幾何關(guān)系可知，反射光線與AC垂直，所以在AM處產(chǎn)生的亮斑P₁為紅色，在AN處產(chǎn)生的亮斑P₂為紅色與紫色的混合色．畫出如圖光線圖．
②tan53°=$\frac{R}{OA}$=$\frac{4}{3}$
可得 OA=12cm
設(shè)折射角為r，兩個光斑分別為P₁、P₂，根據(jù)折射定律：n₁=$\frac{sinr}{sini}$
求得：sinr=$\frac{8\sqrt{3}}{15}$
由幾何知識可得：tanr=$\frac{OA}{A{P}_{1}}$=$\frac{8}{\sqrt{11}}$，tan53°=$\frac{OA}{A{P}_{2}}$
解得：AP₁=$\frac{3\sqrt{11}}{2}$cm，AP₂=9cm
所以P₁P₂=（$\frac{3\sqrt{11}}{2}$+9）cm
答：
①在AM處產(chǎn)生的亮斑P₁為紅色，在AN處產(chǎn)生的亮斑P₂為紅色與紫色的混合色；
②兩個亮斑間的距離為（$\frac{3\sqrt{11}}{2}$+9）cm．

點評 本題首先要能正確作出光路圖，掌握全反射的條件，并能正確應(yīng)用幾何關(guān)系和折射定律結(jié)合進(jìn)行解題．