Question

如圖所示，在坐標系xoy中，過原點的直線OC與x軸正向的夾角φ=120°，在OC右側(cè)有一勻強電場；在第二、三象限內(nèi)有一勻強磁場，其上邊界與電場邊界重疊、右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里。一帶正電荷q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的A點射入磁場區(qū)域，并從O點射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角θ＝30°，大小為v。粒子在磁場中的運動軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的兩倍。粒子進入電場后，在電場力的作用下又由O點返回磁場區(qū)域，經(jīng)過一段時間后再次離開磁場。已知粒子從A點射入到第二次離開磁場所用的時間恰好等于粒子在磁場中做圓周運動的周期。忽略重力的影響。求

（1）粒子經(jīng)過A點時速度的方向和A點到x軸的距離；

（2）勻強電場的大小和方向；

（3）粒子從第二次離開磁場到再次進入電場時所用的時間。

Answer 1

（1）設(shè)磁場左邊界與x軸相交于D點，與CO相交于O′點，由幾何關(guān)系可知，直線OO′與粒子過O點的速度v垂直。在直角三角形OO′D中∠OO′D=30°。設(shè)磁場左右邊界間距為d，則OO′=2d。依題意可知，粒子第一次進入磁場的運動軌跡的圓心即為O′點，圓弧軌跡所對的圓心角為30°，且O′A為圓弧的半徑R。

由此可知，粒子自A點射入磁場的速度與左邊界垂直。A點到x軸的距離

                       ①

由洛侖茲力公式、牛頓第二定律及圓周運動的規(guī)律，得

qvB=                                        ②

聯(lián)立①②式得

 

           ③

(2)設(shè)粒子在磁場中做圓周運動的周期為T，第一次在磁場中飛行的時間為t₁，有

                                            ④

                                        ⑤

依題意，勻強電場的方向與x軸正向夾角應(yīng)為150°。由幾何關(guān)系可知，粒子再次從O點進入磁場的速度方向與磁場右邊界夾角為60°。設(shè)粒子第二次在磁場中飛行的圓弧的圓心為O″，O″必定在直線OC上。設(shè)粒子射出磁場時與磁場右邊界交于P點，則∠OO″P=120°。

設(shè)粒子第二次進入磁場在磁場中運動的時間為t₂，有

                                          ⑥

設(shè)帶電粒子在電場中運動的時間為t₃,依題意得

                             ⑦

由勻變速運動的規(guī)律和牛頓定律可知，

-v=v-at₃                                            ⑧

                                           ⑨

聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧⑨可得

                                     ⑩

（3）粒子自P點射出后將沿直線運動。設(shè)其由P′點再次進入電場，由幾何關(guān)系知∠O″P′P=30°                                         

三角形OPP′為等腰三角形。設(shè)粒子在P、P′兩點間運動的時間為t₄，有

                                        

又由幾何關(guān)系知             

聯(lián)立②式得