Question

在天文觀測中，地球與太陽的連線和地球與被觀測行星的連線的夾角稱為行星對地球的視角．當視角最大時，地球上觀測此行星的時機最佳．如圖是地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運動的示意圖，它們的軌道半徑分別為r₁、r₂，r₁＞r₂，下列說法正確的是（　�。�

• A．該行星公轉周期大于1年
• B．該行星對地球的最大視角tan θ_m=

  r2

  r1

• C．該行星恰處于最佳觀測位置時，地球與行星間的距離為d=

  r 2 1 - r 2 2

• D．若某時刻該行星恰處于最佳觀測位置，則到下次最佳觀測位置相隔的時間不可能小于行星的公轉周期

Answer 1

分析：地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式，表示出周期，然后去進行比較．
根據題意畫出行星恰處于最佳觀測位置圖形，運用幾何關系求出問題．

解答：解：A、地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力得：

GmM

R2

=m

4π2R

T2

T=2π

R3 GM

由于r₁＞r₂，得出地球的公轉周期大于行星公轉周期．
所以該行星公轉周期小于1年．故A錯誤．
B、要視角最大，必須地球與行星的連線與行星的軌道相切．如圖：

根據直角三角形幾何關系得出：tanθ=

r2

r 2 1 - r 2 2

，故B錯誤．
C、根據直角三角形幾何關系得出該行星恰處于最佳觀測位置時，地球與行星間的距離為d=

r 2 1 - r 2 2

．故C正確．
D、由題意可得行星的軌道半徑r為：r₂=r₁sinθ   …①
設行星繞太陽的運轉周期為T′，由開普勒第三定律有：

r 3 1

T2

=

r 3 2

T′2

    …②
設行星最初處于最佳觀察期時，其位置超前與地球，且設經時間t地球轉過α角后該行星再次
處于最佳觀察期．則行星轉過的角度β為：β=π+α+2θ   …③
于是有：

2π

T

t=α                 …④
  

2π

T′

t=β                …⑤
解①②③④⑤可得：t=

π+2θ

2π(1- sin3θ )

T′    …⑥
從數(shù)學關系可以發(fā)現(xiàn)到下次最佳觀測位置相隔的時間可能小于行星的公轉周期．故D錯誤．
故選C．

點評：向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或要求解的物理量選取應用．
物理問題經常要結合數(shù)學幾何關系解決．