Question

5．如圖所示為研究電子槍中電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化模型示意圖．已知電子的質(zhì)量是m，電量為e，在Oxy平面的ABCD區(qū)域內(nèi)，存在兩個(gè)場(chǎng)強(qiáng)大小均為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)I和Ⅱ，兩電場(chǎng)的邊界均是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形（不計(jì)電子所受重力）．
（1）在該區(qū)域AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，求電子在ABCD區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間和電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置；
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)，求所有釋放點(diǎn)的位置．

Answer 1

分析 （1）在AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，電場(chǎng)力對(duì)電子做正功，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子穿過(guò)電場(chǎng)時(shí)的速度．進(jìn)入電場(chǎng)II后電子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出電子的加速度和時(shí)間，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置坐標(biāo)．
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子先在電場(chǎng)Ⅰ中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入電場(chǎng)Ⅱ后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出位置x與y的關(guān)系式．

解答 解：（1）電子在區(qū)域I中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理得：eEL═$\frac{1}{2}$mv²
的v=$\sqrt{\frac{2EeL}{m}}$
電子在區(qū)域I運(yùn)動(dòng)有L=$\frac{1}{2}$vt₁
得t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{Ee}}$
電子在中間區(qū)域勻速運(yùn)動(dòng)，有L=vt₃，得t₃=$\sqrt{\frac{mL}{2Ee}}$
進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ時(shí)電子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)電子能穿出CD變，則
電子在區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}={t}_{3}=\sqrt{\frac{mL}{2Ee}}$
在沿y軸上根據(jù)牛頓第二定律可得：eE=ma
y軸方向上運(yùn)動(dòng)的位移為，$△y=\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}=\frac{L}{4}＜\frac{L}{2}$
顯然假設(shè)成立
所以電阻在ABCD區(qū)域運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間$t={t}_{1}={t}_{2}={t}_{3}=2\sqrt{\frac{2mL}{Ee}}$
電子離開(kāi)是的位移坐標(biāo)為（-2L，$\frac{L}{4}$）．
（2）設(shè)釋放點(diǎn)在電場(chǎng)區(qū)域I中，其坐標(biāo)為（x，y），在電場(chǎng)I中電子被加速到v₁，然后進(jìn)入電場(chǎng)II做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，并從D點(diǎn)離開(kāi)，有
      eEx=$\frac{1}{2}$mv₁²  
      y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}×\frac{eE}{m}（\frac{L}{{v}_{\;}^{2}}）$
解得　xy=$\frac{{L}^{2}}{4}$，即在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)滿足此方程的點(diǎn)即為所求位置．
答：（1）在該區(qū)域AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置坐標(biāo)為（-2L，$\frac{L}{4}$）．
    （2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)，所有釋放點(diǎn)的位置在xy=$\frac{{L}^{2}}{4}$曲線上．

點(diǎn)評(píng) 本題實(shí)際是加速電場(chǎng)與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的組合，考查分析帶電粒子運(yùn)動(dòng)情況的能力和處理較為復(fù)雜的力電綜合題的能力．