Question

18．如圖所示，容器中盛有水，PM為水面，從A點發(fā)出一束白光，射到水面上的O點后，折射光（發(fā)生了色散）照到器壁上a、b之間，如果AP=OM=$\sqrt{3}$ m，PO=Mb=1m，ab=（$\sqrt{3}$-1）m，則從A點發(fā)出的白光射到PM上的入射點O向右移動多少時開始有色光消失？移動多少時器壁上的色光全部消失？

Answer 1

分析 由于三棱鏡對各色光的折射率不同，導致色散的形成．根據(jù)幾何關系求出兩種色光在O點的入射角和折射角，由折射定律求出折射率，再由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角．結(jié)合全反射條件和幾何關系求解．

解答 解：設水對射到a點的光線折射率為n₁，全反射臨界角為C₁．水對射到b點的光線折射率為n₂，全反射臨界角為C₂．光路圖如圖．
由幾何關系可得：
  tanα=$\frac{PO}{AP}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得 α=30°
  tanβ₁=$\frac{OM}{Ma}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=1，得 β₁=45° 
   tanβ₂=$\frac{OM}{Mb}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，得 β₂=60°
  由折射定律得：n₁=$\frac{sin{β}_{1}}{sinα}$=$\sqrt{2}$，n₂=$\frac{sin{β}_{2}}{sinα}$=$\sqrt{3}$
由sinC=$\frac{1}{n}$得：sinC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C₁=45°；sinC₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosC₂=$\sqrt{1-si{n}^{2}{C}_{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
當從A點發(fā)出的白光射到PM上的入射點O向右移動時，折射率為n₂的光線先發(fā)生全反射，O點向右移動的距離為
  S₁=APtanC₂-PO=AP$\frac{sin{C}_{2}}{cos{C}_{2}}$-PO=$\sqrt{3}$×$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$-1=$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$m
當從A點發(fā)出的白光射到PM上的入射點O向右移動時，折射率為n₁的光線先發(fā)生全反射，O點向右移動的距離為
  S₂=APtanC₁-PO=AP-PO=（$\sqrt{3}$-1）m
即移動（$\sqrt{3}$-1）m時器壁上的色光全部消失．
答：從A點發(fā)出的白光射到PM上的入射點O向右移動$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$m時開始有色光消失，移動（$\sqrt{3}$-1）m時器壁上的色光全部消失．

點評 本題是光的色散現(xiàn)象，可以用紅光與紫光類比，根據(jù)紫光的折射率最大，紅光的折射率最小進行類比分析，就比較容易理解了．