Question

20．如圖所示半徑為R的豎直光滑圓軌道內(nèi)側(cè)底部靜止放著一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電的光滑小球，小球質(zhì)量為m，所帶電荷量為q．軌道的上半圓部分處于水平向右，場強(qiáng)大小E=$\frac{4mg}{3q}$的勻強(qiáng)電場中．現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的沖量，使其在瞬間獲得水平初速度，則小球恰好能在軌道內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)的沖量I₀大小為（　�。�

• A． m$\sqrt{5gR}$
• B． m$\sqrt{7gR}$
• C． m$\sqrt{\frac{23}{3}gR}$
• D． m$\sqrt{\frac{29}{3}gR}$

Answer 1

分析 該題為豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的題目，需要先判斷出小球在豎直平面內(nèi)的等效最高點(diǎn)，求出在等效最高點(diǎn)的合力的大小，然后由牛頓第二定律求出小球在等效最高點(diǎn)的速度，由功能關(guān)系求出小球在最低點(diǎn)的速度，最后由動(dòng)量定理求出小球恰好能在軌道內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)的沖量I₀大�。�

解答 解：由題可知，小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中，在軌道的上半部分受到重力、電場力以及軌道的支持力，當(dāng)小球受到的重力與電場力的方向指向圓心時(shí)，該點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)的等效最高點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為P，小球的受力如圖，則：

所以：$tanθ=\frac{qE}{mg}=\frac{q•\frac{4mg}{3q}}{mg}=\frac{4}{3}$
所以：θ=53°
小球恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)受到的合力提供向心力，則：
${F}_{合}=\frac{m{v}_{P}^{2}}{R}$  ①
其中：${F}_{合}=\frac{mg}{cosθ}$  ②
小球帶正電，則小球從最低點(diǎn)到P的過程中重力與電場力都做負(fù)功，由動(dòng)能定理得：
$-mgR（1+cosθ）-qER（1+sinθ）=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  ③
聯(lián)立得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{29}{3}gR}$
根據(jù)動(dòng)量定理，小球在最低點(diǎn)：I₀=mv₀-0④
所以：${I}_{0}=m•{v}_{0}=m\sqrt{\frac{29}{3}gR}$．故ABC錯(cuò)誤，D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合復(fù)合場的情景考查豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，解答的關(guān)鍵是先找出小球運(yùn)動(dòng)過程中的等效最高點(diǎn)，求出小球恰好經(jīng)過等效最高點(diǎn)的速度．