Question

11．如圖所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B以不同速率進(jìn)入管內(nèi)．已知僅在管內(nèi)區(qū)域存在一種場，該場使得對處于場內(nèi)的物體受到一個(gè)豎直向下的恒力作用，且恒力大小為F=3mg．
（1）若A球通過最高點(diǎn)C時(shí)對管壁剛好沒有壓力，此時(shí)A球速度多大？
（2）A通過最高點(diǎn)C時(shí)，對管壁上部的壓力為5mg，B通過最高點(diǎn)C時(shí)，對管壁下部的壓力為3mg．求A、B兩球落地點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）球在C點(diǎn)與管壁沒有壓力，則A球受到重力和F的作用，根據(jù)牛頓第二定律求出A球的速度；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出A球、B球在最高點(diǎn)C的速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出A、B兩球落地點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）A球在圓周最高點(diǎn)剛好對管道沒有壓力時(shí)，
由牛頓第二定律：$mg+F=m\frac{v^2}{R}$，
此時(shí)A球速度$v=2\sqrt{gR}$；
（2）A球通過最高點(diǎn)對管壁上部的壓力為5mg時(shí)，
由牛頓第二定律：$mg+5mg+F=m\frac{v_A^2}{R}$，
此時(shí)A球速度${v_A}=3\sqrt{gR}$
B球通過最高點(diǎn)對管壁下部的壓力為3mg時(shí)，
由牛頓第二定律：$mg-3mg+F=m\frac{v_B^2}{R}$，
此時(shí)A球速度${v_B}=\sqrt{gR}$
A、B球離開最高點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$，
則t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
落地時(shí)，水平位移x_A=v_At=6R，
x_B=v_Bt=2R．
故A、B兩球落地點(diǎn)間的距離x=x_A-x_B=4R．
答：（1）A球的速度為$2\sqrt{gR}$；
（2）A、B兩球落地點(diǎn)間的距離為4R．

點(diǎn)評 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．