Question

8．如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R=2m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以v₀的初速度從B點開始沿AB向上運動，小球與兩段直軌道間的動摩擦因數(shù)均為μ=1/3，設(shè)小球經(jīng)過軌道連接處均無能量損失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）要使小球能通過圓弧形軌道APD的最高點，初速度v₀至少多大？
（2）若以題（1）中求得的最小初速度v₀從B點向上運動，小球剛能通過圓弧形軌道APD的最高點，求小球第一次到達Q點時對軌道的壓力；
（3）若以題（1）中求得的最小初速度v₀從B點向上運動，小球剛能通過圓弧形軌道APD的最高點，計算說明小球能經(jīng)過C點的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）小球穿在滑軌上，通過軌道APD的最高點時速度可以為零，根據(jù)動能定理求初速度v₀．
（2）球剛能通過圓弧形軌道APD的最高點時速度為零，根據(jù)動能定理求出小球第一次到達Q點時的速度，小球在Q點，由合力提供向心力，由牛頓運動定律求小球第一次到達Q點時對軌道的壓力．
（3）小球在直軌道上運動時，由于克服摩擦而做功，其機械能要減少，根據(jù)功能關(guān)系分析小球經(jīng)過C點的動能，確定小球能經(jīng)過C點的次數(shù)．

解答 解：（1）因為小球穿在滑軌上，所以通過軌道APD的最高點時速度可以為0，小球由B點到圓軌道APD最高點的過程，根據(jù)動能定理得：
-mg[（R-Rcosθ）+Lsinθ]-μmgLcosθ=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)值解得：v₀=2$\sqrt{15}$m/s；
（2）從B點出發(fā)到小球第一次回到Q點的過程中，根據(jù)動能定理得：
-μmgLcosθ-μmgL+mgrcosθ=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v_Q=2$\sqrt{10}$m/s
小球第一次到達Q點時，軌道對小球的支持力 N=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{r}$
解得 N=40N
根據(jù)牛頓第三定律知，小球第一次到達Q點時對軌道的壓力為：
N′=N=40N
（3）當小球在B點以v₀=2m/s向上運動，再次回到B點時，損失的機械能為：
△E=μmgLcosθ+μmgL=μmgL（cosθ+1）=$\frac{1}{3}$×1×10×3×（cos37°+1）J=18J
小球在B點的初動能為：
E_k0=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×（2\sqrt{15}）^{2}$J=30J
再次回到B點時的動能為：
E_kB=E_k0-△E=$\frac{1}{2}×1×（2\sqrt{15}）^{2}$-18=12J
由于mgsinθ＞μmgcosθ，分析知，小球沿AB上升到某點后將下滑，第三次經(jīng)過B點時動能小于12J，第二次經(jīng)過C點時動能22J，小于30J，第三次經(jīng)過C點時動能大于2J，小于10J，此后小球?qū)�無法再次回到B點，下滑后第四次經(jīng)過C點，在未到D點時停止，所以小球能經(jīng)過C點的次數(shù)為4次．
答：（1）要使小球能通過圓弧形軌道APD的最高點，初速度v₀至少為2$\sqrt{15}$m/s；
（2）小球第一次到達Q點時對軌道的壓力是40N；
（3）小球能經(jīng)過C點的次數(shù)為4次．

點評 本題過程較復(fù)雜，關(guān)鍵是理清過程，搞清運動規(guī)律，合適地選擇研究的過程，運用動能定理和能量守恒定律進行解題．