Question

12．如圖所示，某一新型發(fā)電裝置的發(fā)電管是橫截面為矩形的水平管道，管道的長(zhǎng)為L(zhǎng)、寬為d、高為h，上下兩面是絕緣板．前后兩側(cè)面M、N是電阻可忽略的導(dǎo)體板，兩導(dǎo)體板與開(kāi)關(guān)S和定值電阻R相連．整個(gè)管道置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向沿z軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．管道內(nèi)始終充滿電阻率為ρ的導(dǎo)電液體（有大量的正、負(fù)離子），且開(kāi)關(guān)閉合前后，液體在管道進(jìn)、出口兩端壓強(qiáng)差的作用下，均以恒定速率v₀沿x軸正向流動(dòng)．求：
（1）開(kāi)關(guān)閉合前，M、N兩板間的電勢(shì)差大小U₀；
（2）若已知矩形管道的橫截面積為S．在保持管道截面S及其他量不變的前提下，矩形管道的寬和高可任意調(diào)整．則開(kāi)關(guān)閉合后電阻R可獲得的最大功率P_m多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力等于電場(chǎng)力，即可求解；
（2）由歐姆定律，結(jié)合電阻定律，及功率表達(dá)式，并依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求極值法，即可求解．

解答 解：（1）設(shè)帶電離子所帶的電荷量為q，由洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，有
qv₀B=q$\frac{{U}_{0}}vsdo6oj$                
得  U₀=Bdv₀
（2）開(kāi)關(guān)閉合后，根據(jù)歐姆定律，有
I=$\frac{{U}_{0}}{R+r}$                     
兩導(dǎo)體板間液體的電阻
r=ρ$\fracpjdpmr1{Lh}$        
電阻R獲得的功率為P=I²R
解得：P=$（\frac{L{v}_{0}B}{\frac{LR}reszqh3+\frac{ρ}{L}}）^{2}R$
當(dāng)$\fracfsnfv1k{h}=\frac{LR}{ρ}$時(shí)，電阻R獲得功率最大，即最大功率為P_m=$\frac{LS{v}_{0}^{2}{B}^{2}}{4ρ}$               
答：（1）開(kāi)關(guān)閉合前，M、N兩板間的電勢(shì)差大小Bdv₀；
（2）開(kāi)關(guān)閉合后電阻R可獲得的最大功率$\frac{LS{v}_{0}^{2}{B}^{2}}{4ρ}$．

點(diǎn)評(píng) 考查帶電粒子受到洛倫茲力與電場(chǎng)力相平衡的應(yīng)用，掌握壓強(qiáng)公式與安培力表達(dá)式，注意液體受到安培力的模型建立，同時(shí)理解會(huì)求極值的方法．