Question

（20分）某甲設(shè)計了1個如圖所示的“自動噴泉”裝置，其中A、B、C為3個容器，D、E、F為3根細管，管栓K是關(guān)閉的．A、B、C及細管D、E中均盛有水，容器水面的高度差分別為和如圖所示．A、B、C的截面半徑為12cm，D的半徑為0.2cm．甲向同伴乙說：“我若擰開管栓K，會有水從細管口噴出．”乙認為不可能．理由是：“低處的水自動走向高外，能量從哪兒來？”甲當(dāng)即擰開K，果然見到有水噴出，乙啞口無言，但不明白自己的錯誤所在．甲又進一步演示．在擰開管栓K前，先將噴管D的上端加長到足夠長，然后擰開K，管中水面即上升，最后水面靜止于某個高度處．

(1)論證擰開K后水柱上升的原因；

(2)當(dāng)D管上端足夠長時，求擰開K后D中靜止水面與A中水面的高度差；

(3)論證水柱上升所需能量的來源。

Answer 1

解析：

實踐證明，甲的設(shè)計是正確的，所以乙的結(jié)論肯定是錯的。

（1）設(shè)大氣壓為，水的密度為。擰開前的情況如圖復(fù)的（a）圖所示。由流

體靜力學(xué)可知，、中氣體的壓強為

　　    （1）

中氣體的壓強為

                  （2）

由（1）、（2）兩式可得

即，當(dāng)擰開后，中氣體壓強降至，此時

                   （3）

即管中容器水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以管中水柱上升。

（2）擰開后，水柱上升，因管上端已足夠長，故水不會從管口噴出．設(shè)到中的水面靜止時中增加水量的體積為，則中減少水量的體積亦為，其水面將略有降低，因而及中氣體壓強路有下降，中的水將通過管流入中，當(dāng)從流入水量的體積等于時，、中氣體壓強恢復(fù)原值。因為、、的半徑為管半徑的60倍，截面積比為3600倍，故、、中少量水的增減（）引起的、、中水面高度的變化可忽略不計，即和的數(shù)值保持不變。

設(shè)中水面靜止時與中水面的高度差為，（見圖（b）），則有

                     （4）

由此可得                                                     （5）

（3）將圖復(fù)（a）和(b)兩圖相比較可知，其差別在于體積為的水從移至中，另的水又由移入中，前者重力勢能減少，而后者重力勢能增大，前者的重力勢能減少量為

                                 （6）

中增加的水柱的重心離中水面的高度為，故后者的重力勢能增量為

                               （7）

即

由此可知，體積為的水由流入中減少的勢能的一部分轉(zhuǎn)化為同體積的水由進入中所需的勢能，其余部分則轉(zhuǎn)化為水柱的動能，故發(fā)生上下振動，中水面靜止處為平衡點．由于水與管間有摩擦等原因，動能逐步消耗，最后水面停留在距中水面處。