Question

11．2014年中國正式開展月球探測工程，工程分為“無人月球探測””、“載人登月”和“建立月球基地”三個(gè)階段，已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為q，月球半徑與地球半徑之比為p．求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）探測器繞月球表面運(yùn)動(dòng)的速度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)月球質(zhì)量為M_月，半徑為R_月，月球表面重力加速為g_月；地球質(zhì)量為M_地，由萬有引力定律及牛頓第二定律列式求解
（2）萬有引力定律及向心力公式列式求解．

解答 解：（1）探測器在月球表面的重力等于萬有引力：$G\frac{{{M_月}m}}{R_月^2}=m{g_月}$
探測器在地球表面的重力等于萬有引力：$G\frac{{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}=mg$
又：：$\frac{M_月}{M_地}=q$，$\frac{R_月}{R_地}=p$
解得：${g}_{月}=\frac{q}{{p}^{2}}g$
（2）設(shè)探測器在環(huán)月軌道上運(yùn)行時(shí)的速度，根據(jù)萬有引力提供向心力得：$m\frac{{v}^{2}}{{R}_{月}}=G\frac{{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}$
聯(lián)立以上各式解得：$v=\sqrt{\frac{qgR}{p}}$
答：（1）月球表面的重力加速度是$\frac{q}{{p}^{2}}g$；
（2）繞月球表面運(yùn)動(dòng)的速度大小為$\sqrt{\frac{qgR}{p}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬有引力在航空航天中的應(yīng)用，在解答的過程中注意萬有引力定律應(yīng)用的兩個(gè)公式的選擇，研究天體運(yùn)動(dòng)時(shí)選擇萬有引力等于向心力．