Question

13．如圖甲所示，固定在水平桌邊上的L雙軌型平行金屬導(dǎo)軌足夠長，傾角為θ=53°，間距L=2m，電阻不計；導(dǎo)軌上兩根金屬棒ab、cd的阻值分別為R₁=25Ω，R₂=4Ω，ab棒的質(zhì)量m₁=5.0kg，cd棒質(zhì)量m₂=1.0kg，ab與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ₁=$\frac{2}{15}$，cd與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.5，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，整個導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5T、方向垂直傾斜導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中．現(xiàn)讓ab棒從導(dǎo)軌上離桌面某一高度處由靜止釋放，當(dāng)它剛要滑出導(dǎo)軌時，cd棒也恰好開始滑動，且ab棒下滑階段，通過ab棒的電荷量為q=2C；g取10m/s²．
（1）求在ab棒整個下滑階段，ad棒中產(chǎn)生的熱量；
（2）若ab棒無論從多高的位置釋放，cd棒都不動，求ab棒質(zhì)量滿足的條件？

Answer 1

分析 （1）因兩棒串聯(lián)，所以兩棒所受安培力大小相等，對cd棒分析，結(jié)合平衡，以及切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式和歐姆定律求出cd棒恰好開始滑動時，ab棒的速度．根據(jù)電量的表達(dá)式q=$n\frac{△Φ}{{R}_{總}}$求出ab棒下滑的距離．對整個系統(tǒng)運用功能關(guān)系求出整個電路產(chǎn)生的熱量，從而得出cd棒上產(chǎn)生的熱量．
（2）抓住ab棒勻速運動，cd棒都未滑動，分別對ab棒和cd棒分析，抓住cd棒安培力在水平方向上的分力小于最大靜摩擦力，求出ab棒質(zhì)量滿足的條件．

解答 解：（1）因兩棒串聯(lián)，所以兩棒所受安培力大小相等，在cd棒剛滑動時，設(shè)ab棒的速度為v，此時對cd棒有：
BILsin37°=μ₂（m₂g+BILcos37°）
且$I=\frac{BLv}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
聯(lián)立解得：v=1.5m/s
設(shè)ab棒下滑的距離為x，則有：
q=$\frac{BLx}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得：x=1.2m    
對整個系統(tǒng)由功能關(guān)系得：
Q=（m₁gsinθ-μ₁m₁gcosθ）x$-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$，
由串聯(lián)電路知識可得cd棒產(chǎn)生的熱量為：$Q′=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}Q$，
聯(lián)立上述方程并代入數(shù)據(jù)得：Q′=25.05J      
（2）分析可知，只要ab棒勻速運動cd棒都未滑動則滿足要求，勻速運動時對ab棒：
F_安=m₁gsinθ-μ₁m₁gcosθ，
此時對cd棒：F_安•sinθ≤μ₂（m₂g+F_安cosθ），
代入數(shù)據(jù)解得：${m}_{1}≤\frac{125}{36}$kg≈3.47kg       
答：（1）ad棒中產(chǎn)生的熱量為25.05J．
（2）ab棒質(zhì)量滿足的條件m₁≤3.47kg．

點評 本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識、電路的綜合，掌握電量的經(jīng)驗表達(dá)式q=$n\frac{△Φ}{{R}_{總}}$，以及能夠正確地受力分析，抓住臨界情況，結(jié)合共點力平衡和能量守恒進(jìn)行求解．