Question

3．如圖所示，空間中存在一水平方向的勻強電場和一水平方向的勻強磁場，且電場方向和磁場方向相互垂直．在正交的電、磁場空間中有一足夠長的固定粗糙絕緣桿，與電場正方向成60°夾角且處于豎直平面內．一質量為m，帶電量為q（q＞0）的小球套在絕緣桿上，初始時刻，給小球一沿桿向下的初速度v₀，已知磁感應強度大小為B，電場強度大小為E=$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$，重力加速度大小為g，小球電荷量保持不變，則以下說法正確的是（　　）

• A． 若小球的初速度為$\frac{mg}{qB}$，則運動中克服摩擦力做功為$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$
• B． 若小球的初速度為$\frac{mg}{qB}$，則運動中克服摩擦力做功為$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$
• C． 若小球的初速度為$\frac{3mg}{qB}$，則運動中克服摩擦力做功為$\frac{5{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$
• D． 若小球的初速度為$\frac{3mg}{qB}$，則運動中克服摩擦力做功為$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$

Answer 1

分析 小球受重力、摩擦力（可能有）、彈力（可能有）、向右上方的洛倫茲力、向左的電場力，當受到的合外力等于0時，小球做勻速直線運動．當小球受到的合外力不為0時，要判斷出支持力的方向，明確支持力的大小隨洛倫茲力的變化關系，然后做出判定．

解答 解：對小球進行受力分析，如圖：

電場力的大�。篎=qE=$q×\frac{\sqrt{3}mg}{q}$，由于重力的方向豎直向下．電場力的方向水平向右，二者垂直，合力：
${F}_{合}=\sqrt{{F}^{2}+（mg）^{2}}$，由幾何關系可知，重力與電場力的合力與桿的方向垂直，所以重力與電場力的合力不會對小球做功，而洛倫茲力的方向與速度的方向垂直，所以也不會對小球做功．所以，當小球做勻速直線運動時，不可能存在摩擦力，沒有摩擦力，說明小球與桿之間就沒有支持力的作用，則洛倫茲力大小與重力、電場力的合力相等，方向相反．所以qv₀B=2mg．
所以v₀=$\frac{2mg}{qB}$
AB、若小球的初速度為$\frac{mg}{qB}$，洛侖茲力小于重力與電場力的合力，小球做加速度增加的減速運動，最后靜止，故克服摩擦力做功為：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}×m×（{\frac{mg}{qB}）}^{2}=\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$，故A錯誤，B正確；
CD、若小球的初速度為$\frac{3mg}{qB}$，洛侖茲力大于重力與電場力的合力，小球做加速度減小的減速運動，最后以速度v₀=$\frac{2mg}{qB}$做勻速直線運動，故克服摩擦力做功為：
${W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m（\frac{3mg}{qB}）^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{2mg}{qB}）^{2}$=$\frac{5{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$，故C正確，D錯誤；
故選：BC

點評 本題考查小球在混合場中的運動，解答的關鍵明確小球的受力情況，并能夠結合受力的情況分析小球的運動情況，要知道小球何時做加速度減小的減速運動，何時做加速度增大的減速運動，當加速度減為零時，做勻速運動．