Question

2011年9月29日晚9時(shí)25分，天宮一號(hào)進(jìn)入近地點(diǎn)h₁約200公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)h₂為346.9公里，軌道傾角為42.75度，周期5382秒的運(yùn)行軌道．北京時(shí)間9月30日16時(shí)09分，在北京航天飛行控制中心精確控制下，天宮一號(hào)成功實(shí)施第2次軌道控制，近地點(diǎn)高度由200公里抬升至h₃約362公里，順利進(jìn)入在軌測(cè)試軌道．這次軌道控制是在天宮一號(hào)飛行第13圈實(shí)施的．經(jīng)過(guò)兩次軌道控制，天宮一號(hào)已從入軌時(shí)的橢圓軌道進(jìn)入近圓軌道，為后續(xù)進(jìn)入交會(huì)對(duì)接軌道奠定了基礎(chǔ)．通過(guò)此次軌道抬升，預(yù)計(jì)可使天宮一號(hào)在神舟八號(hào)發(fā)射時(shí)，軌道高度自然降至h₄約343公里的交會(huì)對(duì)接軌道，從而盡量減少發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)機(jī)，節(jié)省燃料．已知地球半徑R，地球表面的重力加速度g．（答案都用字母表示）            
（1）求第二次變軌后的近圓軌道處的重力加速度g′
（2）求在交會(huì)對(duì)接軌道上運(yùn)動(dòng)周期T．

Answer 1

分析：地球表面的重力等于萬(wàn)有引力，據(jù)萬(wàn)有引力定律，航天器繞地球圓軌道飛行時(shí)萬(wàn)有引力提供向心力，據(jù)此列方程可解．

解答：解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力有
地球表面：

GMm

R2

=mg
離地面h₃高度處：

GMm

(R+h3)2

=mg′
解得g′=

R2

(R+h3)2

g
（2）地球表面的重力等于萬(wàn)有引力：

GMm

R2

=mg
萬(wàn)有引力提供向心力：

GMm

(R+h4)2

=m

4π2

T2

(R+h4)
由以上二式解得T=

4π2(R+h4)3 gR2

答：（1）求第二次變軌后的近圓軌道處的重力加速度g′為

R2

(R+h3)2

g
（2）求在交會(huì)對(duì)接軌道上運(yùn)動(dòng)周期T為

4π2(R+h4)3 gR2

．

點(diǎn)評(píng)：本題中隱含條件地球表面的重力等于萬(wàn)有引力，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，能寫(xiě)出萬(wàn)有引力和向心力的關(guān)系就能正常求解．